Sr Examen

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(x^2-x+1)/(1-2x)

Gráfico de la función y = (x^2-x+1)/(1-2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2        
       x  - x + 1
f(x) = ----------
        1 - 2*x  
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x}$$
f = (x^2 - x + 1)/(1 - 2*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - x + 1)/(1 - 2*x).
$$\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 1}{1 - 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 1}{1 - 2 x} + \frac{2 \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)}{\left(1 - 2 x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                  /               2        \ 
                  |    /      ___\      ___| 
              ___ |1   |1   \/ 3 |    \/ 3 | 
       ___  \/ 3 *|- + |- - -----|  + -----| 
 1   \/ 3         \2   \2     2  /      2  / 
(- - -----, --------------------------------)
 2     2                   3                 

                   /               2        \  
                   |    /      ___\      ___|  
               ___ |1   |1   \/ 3 |    \/ 3 |  
       ___  -\/ 3 *|- + |- + -----|  - -----|  
 1   \/ 3          \2   \2     2  /      2  /  
(- + -----, ----------------------------------)
 2     2                    3                  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x^{2} - x + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x + 1)/(1 - 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{x \left(1 - 2 x\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{x \left(1 - 2 x\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x} = \frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{1 - 2 x} = - \frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-x+1)/(1-2x)