Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=−1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (x+1)28(x−1)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica x1=1 Solución numérica x1=1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en (8*(x - 1))/(x + 1)^2. 12(−1)8 Resultado: f(0)=−8 Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada (x+1)48(−2x−2)(x−1)+(x+1)28=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=3 Signos de extremos en los puntos:
(3, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: La función no tiene puntos mínimos Puntos máximos de la función: x1=3 Decrece en los intervalos (−∞,3] Crece en los intervalos [3,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada (x+1)316(x+13(x−1)−2)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=5 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=−1
x→−1−lim(x+1)316(x+13(x−1)−2)=−∞ x→−1+lim(x+1)316(x+13(x−1)−2)=−∞ - los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [5,∞) Convexa en los intervalos (−∞,5]
Asíntotas verticales
Hay: x1=−1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((x+1)28(x−1))=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim((x+1)28(x−1))=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*(x - 1))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(x+1)28(x−1))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(x(x+1)28(x−1))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (x+1)28(x−1)=(1−x)2−8x−8 - No (x+1)28(x−1)=−(1−x)2−8x−8 - No es decir, función no es par ni impar