Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -x)/(x^ dos - cuatro)
- (x al cuadrado menos x) dividir por (x al cuadrado menos 4)
- (x en el grado dos menos x) dividir por (x en el grado dos menos cuatro)
- (x2-x)/(x2-4)
- x2-x/x2-4
- (x²-x)/(x²-4)
- (x en el grado 2-x)/(x en el grado 2-4)
- x^2-x/x^2-4
- (x^2-x) dividir por (x^2-4)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-x)/(x^2+4)
- (x^2+x)/(x^2-4)
Gráfico de la función y = (x^2-x)/(x^2-4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - x
f(x) = ------
2
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}$$
f = (x^2 - x)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3} + 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\ ___
___ -4 + \4 - 2*\/ 3 / + 2*\/ 3
(4 - 2*\/ 3, -----------------------------)
2
/ ___\
-4 + \4 - 2*\/ 3 / 2
/ ___\ ___
___ -4 + \4 + 2*\/ 3 / - 2*\/ 3
(4 + 2*\/ 3, -----------------------------)
2
/ ___\
-4 + \4 + 2*\/ 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3} + 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico