Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2-x)/(x^2-4)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^2+x+1 x^2+x+1
  • (x^2-1)/(x^2+1) (x^2-1)/(x^2+1)
  • y=x^3-3x^2+4 y=x^3-3x^2+4
  • -1-x -1-x

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos -x)/(x^ dos - cuatro)
  • (x al cuadrado menos x) dividir por (x al cuadrado menos 4)
  • (x en el grado dos menos x) dividir por (x en el grado dos menos cuatro)
  • (x2-x)/(x2-4)
  • x2-x/x2-4
  • (x²-x)/(x²-4)
  • (x en el grado 2-x)/(x en el grado 2-4)
  • x^2-x/x^2-4
  • (x^2-x) dividir por (x^2-4)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-x)/(x^2+4)
  • (x^2+x)/(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-x)/(x^2-4)

Gráfico de la función y = (x^2-x)/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  - x
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
f(x)=x2−xx2−4f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} 
f = (x^2 - x)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−xx2−4=0\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - x)/(x^2 - 4).
02−0−4+02\frac{0^{2} - 0}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x2−x)(x2−4)2+2x−1x2−4=0- \frac{2 x \left(x^{2} - x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4−23x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}
x2=23+4x_{2} = 2 \sqrt{3} + 4
Signos de extremos en los puntos:
                                2           
                   /        ___\        ___ 
         ___  -4 + \4 - 2*\/ 3 /  + 2*\/ 3  
(4 - 2*\/ 3, -----------------------------)
                                     2      
                        /        ___\       
                   -4 + \4 - 2*\/ 3 /       

                                2           
                   /        ___\        ___ 
         ___  -4 + \4 + 2*\/ 3 /  - 2*\/ 3  
(4 + 2*\/ 3, -----------------------------)
                                     2      
                        /        ___\       
                   -4 + \4 + 2*\/ 3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23+4x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4
Puntos máximos de la función:
x1=4−23x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,4−23]∪[23+4,∞)\left(-\infty, 4 - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[4−23,23+4]\left[4 - 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3} + 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4−2x(2x−1)x2−4+1)x2−4=0\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=233+4+2⋅323x_{1} = 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2(x(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4−2x(2x−1)x2−4+1)x2−4)=∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→−2+(2(x(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4−2x(2x−1)x2−4+1)x2−4)=−∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(x(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4−2x(2x−1)x2−4+1)x2−4)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2(x(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4−2x(2x−1)x2−4+1)x2−4)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,233+4+2⋅323]\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
[233+4+2⋅323,∞)\left[2 \sqrt[3]{3} + 4 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−xx2−4)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2−xx2−4)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−xx(x2−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2−xx(x2−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−xx2−4=x2+xx2−4\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}
- No
x2−xx2−4=−x2+xx2−4\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-x)/(x^2-4)
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