Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x+arctgx/x-1

Gráfico de la función y = x+arctgx/x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           acot(x)    
f(x) = x + ------- - 1
              x
f(x)=(x+acot⁡(x)x)−1f{\left(x \right)} = \left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1 
f = x + acot(x)/x - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+acot⁡(x)x)−1=0\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−0.623845141667035x_{1} = -0.623845141667035
x2=−0.623845141667017x_{2} = -0.623845141667017
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + acot(x)/x - 1.
−1+acot⁡(0)0-1 + \frac{\operatorname{acot}{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−1x(x2+1)−acot⁡(x)x2=01 - \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x2+1)2+1x2(x2+1)+acot⁡(x)x3)=02 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−7616.07762853286x_{1} = -7616.07762853286
x2=7431.78917927949x_{2} = 7431.78917927949
x3=−10886.9796067325x_{3} = -10886.9796067325
x4=−6743.86191014379x_{4} = -6743.86191014379
x5=6559.57695165855x_{5} = 6559.57695165855
x6=8522.0742326882x_{6} = 8522.0742326882
x7=−8270.24844071797x_{7} = -8270.24844071797
x8=−5217.53683474655x_{8} = -5217.53683474655
x9=6777.62835158876x_{9} = 6777.62835158876
x10=−3473.34437617912x_{10} = -3473.34437617912
x11=−1729.8944644263x_{11} = -1729.8944644263
x12=3289.10526717558x_{12} = 3289.10526717558
x13=8740.13322183241x_{13} = 8740.13322183241
x14=1763.62130986744x_{14} = 1763.62130986744
x15=7213.73456552556x_{15} = 7213.73456552556
x16=6341.52684619151x_{16} = 6341.52684619151
x17=−3037.36245670878x_{17} = -3037.36245670878
x18=2199.33168337407x_{18} = 2199.33168337407
x19=8304.01583378425x_{19} = 8304.01583378425
x20=−2819.38985192754x_{20} = -2819.38985192754
x21=−5435.57755066611x_{21} = -5435.57755066611
x22=9830.4356467864x_{22} = 9830.4356467864
x23=−1512.14254711129x_{23} = -1512.14254711129
x24=−9360.54551191929x_{24} = -9360.54551191929
x25=4379.16602380878x_{25} = 4379.16602380878
x26=5251.30137550908x_{26} = 5251.30137550908
x27=9612.37427764737x_{27} = 9612.37427764737
x28=3071.11781687027x_{28} = 3071.11781687027
x29=8085.95807285625x_{29} = 8085.95807285625
x30=−5653.62054203212x_{30} = -5653.62054203212
x31=9394.31331980633x_{31} = 9394.31331980633
x32=10702.6847336344x_{32} = 10702.6847336344
x33=10484.6219654214x_{33} = 10484.6219654214
x34=5469.34246328408x_{34} = 5469.34246328408
x35=−3691.34936334623x_{35} = -3691.34936334623
x36=−9578.60640329083x_{36} = -9578.60640329083
x37=−6089.71237407404x_{37} = -6089.71237407404
x38=−1947.71724494957x_{38} = -1947.71724494957
x39=−7834.13382611099x_{39} = -7834.13382611099
x40=−7179.96778971602x_{40} = -7179.96778971602
x41=10048.4974004532x_{41} = 10048.4974004532
x42=−8052.19078353361x_{42} = -8052.19078353361
x43=2417.24484370879x_{43} = 2417.24484370879
x44=1981.45294630499x_{44} = 1981.45294630499
x45=1545.85652440415x_{45} = 1545.85652440415
x46=6123.47817338971x_{46} = 6123.47817338971
x47=−5871.66555552497x_{47} = -5871.66555552497
x48=−8488.3067437525x_{48} = -8488.3067437525
x49=5687.38578446966x_{49} = 5687.38578446966
x50=3507.10299454414x_{50} = 3507.10299454414
x51=8958.19275812722x_{51} = 8958.19275812722
x52=6995.68092499917x_{52} = 6995.68092499917
x53=4815.22711267691x_{53} = 4815.22711267691
x54=2853.14299321083x_{54} = 2853.14299321083
x55=5905.43109185005x_{55} = 5905.43109185005
x56=−9796.66771034085x_{56} = -9796.66771034085
x57=5033.26281115033x_{57} = 5033.26281115033
x58=−6525.81070300431x_{58} = -6525.81070300431
x59=−3909.36161963539x_{59} = -3909.36161963539
x60=10920.747799808x_{60} = 10920.747799808
x61=−2601.43357295479x_{61} = -2601.43357295479
x62=−3255.34811569675x_{62} = -3255.34811569675
x63=2635.18392023345x_{63} = 2635.18392023345
x64=4161.14171232771x_{64} = 4161.14171232771
x65=−7398.02225796209x_{65} = -7398.02225796209
x66=3725.10919799312x_{66} = 3725.10919799312
x67=3943.12247393109x_{67} = 3943.12247393109
x68=10266.5595141513x_{68} = 10266.5595141513
x69=−10232.7914652025x_{69} = -10232.7914652025
x70=−2383.49808265034x_{70} = -2383.49808265034
x71=−2165.58963064479x_{71} = -2165.58963064479
x72=7867.90100292932x_{72} = 7867.90100292932
x73=9176.25280257723x_{73} = 9176.25280257723
x74=−4781.46347328923x_{74} = -4781.46347328923
x75=−4999.49869173587x_{75} = -4999.49869173587
x76=−4345.40356910782x_{76} = -4345.40356910782
x77=−4127.37999482338x_{77} = -4127.37999482338
x78=−10668.9165856714x_{78} = -10668.9165856714
x79=−6961.91430854258x_{79} = -6961.91430854258
x80=4597.19468744241x_{80} = 4597.19468744241
x81=−8706.36564412441x_{81} = -8706.36564412441
x82=−4563.4315981799x_{82} = -4563.4315981799
x83=−6307.76081059899x_{83} = -6307.76081059899
x84=7649.84468307146x_{84} = 7649.84468307146
x85=−9142.48506596214x_{85} = -9142.48506596214
x86=−10450.8538654191x_{86} = -10450.8538654191
x87=−10014.7294059226x_{87} = -10014.7294059226
x88=−8924.4250980605x_{88} = -8924.4250980605
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1(x2+1)2+1x2(x2+1)+acot⁡(x)x3))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(1(x2+1)2+1x2(x2+1)+acot⁡(x)x3))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+acot⁡(x)x)−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+acot⁡(x)x)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + acot(x)/x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+acot⁡(x)x)−1x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x+acot⁡(x)x)−1x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+acot⁡(x)x)−1=−x−1+acot⁡(x)x\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1 = - x - 1 + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}
- No
(x+acot⁡(x)x)−1=x+1−acot⁡(x)x\left(x + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) - 1 = x + 1 - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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