Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos3x/x

Gráfico de la función y = arccos3x/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       acos(3*x)
f(x) = ---------
           x
f(x)=acos⁡(3x)xf{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x} 
f = acos(3*x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(3x)x=0\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=0.333333333333333x_{1} = 0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(3*x)/x.
acos⁡(0⋅3)0\frac{\operatorname{acos}{\left(0 \cdot 3 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x1−9x2−acos⁡(3x)x2=0- \frac{3}{x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−27(1−9x2)32+6x21−9x2+2acos⁡(3x)x3=0- \frac{27}{\left(1 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{6}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \frac{2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43744.4375233888x_{1} = 43744.4375233888
x2=46890.3771163784x_{2} = 46890.3771163784
x3=35323.9732675495x_{3} = 35323.9732675495
x4=34267.7465959127x_{4} = 34267.7465959127
x5=47937.7724682061x_{5} = 47937.7724682061
x6=25781.0971941094x_{6} = 25781.0971941094
x7=45842.3684869966x_{7} = 45842.3684869966
x8=42694.4756621236x_{8} = 42694.4756621236
x9=51076.4474786614x_{9} = 51076.4474786614
x10=50030.7916258103x_{10} = 50030.7916258103
x11=40592.4516681336x_{11} = 40592.4516681336
x12=32152.4896396722x_{12} = 32152.4896396722
x13=30033.2229968973x_{13} = 30033.2229968973
x14=44793.728362934x_{14} = 44793.728362934
x15=33210.5981987743x_{15} = 33210.5981987743
x16=26845.9688890402x_{16} = 26845.9688890402
x17=41643.8212967933x_{17} = 41643.8212967933
x18=39540.3426275751x_{18} = 39540.3426275751
x19=38487.4685116018x_{19} = 38487.4685116018
x20=31093.3794928415x_{20} = 31093.3794928415
x21=36379.3139617626x_{21} = 36379.3139617626
x22=52121.5542642327x_{22} = 52121.5542642327
x23=37433.8020008722x_{23} = 37433.8020008722
x24=27909.572766442x_{24} = 27909.572766442
x25=54210.1767017913x_{25} = 54210.1767017913
x26=53166.1261621269x_{26} = 53166.1261621269
x27=48984.5718298356x_{27} = 48984.5718298356
x28=28971.9716543895x_{28} = 28971.9716543895
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−27(1−9x2)32+6x21−9x2+2acos⁡(3x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{27}{\left(1 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{6}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \frac{2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−27(1−9x2)32+6x21−9x2+2acos⁡(3x)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{27}{\left(1 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{6}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \frac{2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(acos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(3*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(3x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(3x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(3x)x=−acos⁡(−3x)x\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- 3 x \right)}}{x}
- No
acos⁡(3x)x=acos⁡(−3x)x\frac{\operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{x} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- 3 x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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