Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin2x+cos4x

Gráfico de la función y = sin2x+cos4x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(2*x) + cos(4*x)
f(x)=sin⁡(2x)+cos⁡(4x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} 
f = sin(2*x) + cos(4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)+cos⁡(4x)=0\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−5π12x_{2} = - \frac{5 \pi}{12}
x3=−π12x_{3} = - \frac{\pi}{12}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=7π12x_{5} = \frac{7 \pi}{12}
x6=11π12x_{6} = \frac{11 \pi}{12}
Solución numérica
x1=78.2780169519457x_{1} = 78.2780169519457
x2=19.6349541323512x_{2} = 19.6349541323512
x3=23.8237442897226x_{3} = 23.8237442897226
x4=−69.3768377667746x_{4} = -69.3768377667746
x5=74.0892267471593x_{5} = 74.0892267471593
x6=−68.3296401360248x_{6} = -68.3296401360248
x7=60.4756584824658x_{7} = 60.4756584824658
x8=82.4668070589037x_{8} = 82.4668070589037
x9=6.02138591938044x_{9} = 6.02138591938044
x10=−29.5833308213039x_{10} = -29.5833308213039
x11=−73.565627971561x_{11} = -73.565627971561
x12=−27.4889358199597x_{12} = -27.4889358199597
x13=−2.35619443976488x_{13} = -2.35619443976488
x14=−37.9609112308767x_{14} = -37.9609112308767
x15=25.9181394569779x_{15} = 25.9181394569779
x16=−5.49778724491704x_{16} = -5.49778724491704
x17=96.0803753222878x_{17} = 96.0803753222878
x18=93.9859802198946x_{18} = 93.9859802198946
x19=−81.9432083811338x_{19} = -81.9432083811338
x20=67.8060414399797x_{20} = 67.8060414399797
x21=−11.7809724256434x_{21} = -11.7809724256434
x22=−42.1497014356631x_{22} = -42.1497014356631
x23=−9.68657734856853x_{23} = -9.68657734856853
x24=−49.4800843945554x_{24} = -49.4800843945554
x25=−62.0464548656356x_{25} = -62.0464548656356
x26=−77.7544181730249x_{26} = -77.7544181730249
x27=−7.59218224617533x_{27} = -7.59218224617533
x28=69.9004366161932x_{28} = 69.9004366161932
x29=−79.8488132787406x_{29} = -79.8488132787406
x30=38.4845099063309x_{30} = 38.4845099063309
x31=−24.3473433992227x_{31} = -24.3473433992227
x32=52.0980781720307x_{32} = 52.0980781720307
x33=−75.6600230739542x_{33} = -75.6600230739542
x34=−15.9697626557481x_{34} = -15.9697626557481
x35=−93.4623815421655x_{35} = -93.4623815421655
x36=45.8148928648512x_{36} = 45.8148928648512
x37=57.3340658345832x_{37} = 57.3340658345832
x38=−40.0553062843717x_{38} = -40.0553062843717
x39=−24.3473430030571x_{39} = -24.3473430030571
x40=−97.6511716490827x_{40} = -97.6511716490827
x41=98.174770499714x_{41} = 98.174770499714
x42=100.269165527074x_{42} = 100.269165527074
x43=−95.5567765466895x_{43} = -95.5567765466895
x44=50.0036830696375x_{44} = 50.0036830696375
x45=1.83259571459405x_{45} = 1.83259571459405
x46=−13.8753675533549x_{46} = -13.8753675533549
x47=−31.6777259236971x_{47} = -31.6777259236971
x48=−59.9520598060052x_{48} = -59.9520598060052
x49=−55.7632695909785x_{49} = -55.7632695909785
x50=19.6349541205733x_{50} = 19.6349541205733
x51=8.11578102177363x_{51} = 8.11578102177363
x52=−46.3384915686405x_{52} = -46.3384915686405
x53=16.493361330526x_{53} = 16.493361330526
x54=−90.3207887048455x_{54} = -90.3207887048455
x55=−86.1319985859202x_{55} = -86.1319985859202
x56=28.012534494509x_{56} = 28.012534494509
x57=−84.0376034473962x_{57} = -84.0376034473962
x58=−66.2352451131848x_{58} = -66.2352451131848
x59=−33.7721210085396x_{59} = -33.7721210085396
x60=41.6261026770585x_{60} = 41.6261026770585
x61=76.1836219126294x_{61} = 76.1836219126294
x62=−18.0641577035443x_{62} = -18.0641577035443
x63=63.6172512284748x_{63} = 63.6172512284748
x64=−71.4712329686473x_{64} = -71.4712329686473
x65=34.2957198016886x_{65} = 34.2957198016886
x66=3.9269908768935x_{66} = 3.9269908768935
x67=80.3724120543389x_{67} = 80.3724120543389
x68=−57.857664703612x_{68} = -57.857664703612
x69=56.2868683768171x_{69} = 56.2868683768171
x70=−51.5744793964324x_{70} = -51.5744793964324
x71=−20.1585528605345x_{71} = -20.1585528605345
x72=71.9948316447661x_{72} = 71.9948316447661
x73=58.3812634792103x_{73} = 58.3812634792103
x74=41.6261024515687x_{74} = 41.6261024515687
x75=30.1069295969022x_{75} = 30.1069295969022
x76=89.7971900151083x_{76} = 89.7971900151083
x77=10.2101761577944x_{77} = 10.2101761577944
x78=−44.2440965380563x_{78} = -44.2440965380563
x79=91.8915851953631x_{79} = 91.8915851953631
x80=−2.35619464902022x_{80} = -2.35619464902022
x81=85.608400061628x_{81} = 85.608400061628
x82=12.30457122656x_{82} = 12.30457122656
x83=32.201324741883x_{83} = 32.201324741883
x84=−35.8665161284835x_{84} = -35.8665161284835
x85=−64.1408500107916x_{85} = -64.1408500107916
x86=63.6172509684575x_{86} = 63.6172509684575
x87=36.3901149040818x_{87} = 36.3901149040818
x88=14.3989663289532x_{88} = 14.3989663289532
x89=−82.9904059323304x_{89} = -82.9904059323304
x90=−99.7455667547296x_{90} = -99.7455667547296
x91=−109.170344829496x_{91} = -109.170344829496
x92=−53.6688744988256x_{92} = -53.6688744988256
x93=85.608399773204x_{93} = 85.608399773204
x94=54.1924733267656x_{94} = 54.1924733267656
x95=47.9092880367371x_{95} = 47.9092880367371
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) + cos(4*x).
sin⁡(0⋅2)+cos⁡(0⋅4)\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(4x)+2cos⁡(2x)=0- 4 \sin{\left(4 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
x5=i(log⁡(4)−log⁡(−15+i))2x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(- \sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}
x6=i(log⁡(4)−log⁡(15+i))2x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(\sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}
x7=−ilog⁡(−−15+i2)x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{15} + i}}{2} \right)}
x8=−ilog⁡(−15+i2)x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{15} + i}}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -3*pi    
(-----, 0)
   4      

 -pi      
(----, -2)
  4       

 pi    
(--, 0)
 4     

 3*pi     
(----, -2)
  4       

   /     /      ____\         \                                                                              
 I*\- log\I - \/ 15 / + log(4)/     /    /     /      ____\         \\      /  /     /      ____\         \\ 
(------------------------------, cos\2*I*\- log\I - \/ 15 / + log(4)// + sin\I*\- log\I - \/ 15 / + log(4)//)
               2                                                                                             

   /     /      ____\         \                                                                              
 I*\- log\I + \/ 15 / + log(4)/     /    /     /      ____\         \\      /  /     /      ____\         \\ 
(------------------------------, cos\2*I*\- log\I + \/ 15 / + log(4)// + sin\I*\- log\I + \/ 15 / + log(4)//)
               2                                                                                             

       /    ____________ \       /       /    ____________ \\      /       /    ____________ \\ 
       |   /       ____  |       |       |   /       ____  ||      |       |   /       ____  || 
       |-\/  I - \/ 15   |       |       |-\/  I - \/ 15   ||      |       |-\/  I - \/ 15   || 
(-I*log|-----------------|, - sin|2*I*log|-----------------|| + cos|4*I*log|-----------------||)
       \        2        /       \       \        2        //      \       \        2        // 

       /    ____________ \       /       /    ____________ \\      /       /    ____________ \\ 
       |   /       ____  |       |       |   /       ____  ||      |       |   /       ____  || 
       |-\/  I + \/ 15   |       |       |-\/  I + \/ 15   ||      |       |-\/  I + \/ 15   || 
(-I*log|-----------------|, - sin|2*I*log|-----------------|| + cos|4*I*log|-----------------||)
       \        2        /       \       \        2        //      \       \        2        //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x4=−atan⁡(1515)2+π2x_{4} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
x4=atan⁡(1515)2x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2}
x4=−π+atan⁡(cos⁡(atan⁡(1515)2)sin⁡(atan⁡(1515)2))x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}
x4=−π+atan⁡(sin⁡(atan⁡(1515)2)cos⁡(atan⁡(1515)2))x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}
Decrece en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(sin⁡(2x)+4cos⁡(4x))=0- 4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(4x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(4x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) + cos(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)+cos⁡(4x)=−sin⁡(2x)+cos⁡(4x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}
- No
sin⁡(2x)+cos⁡(4x)=sin⁡(2x)−cos⁡(4x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(4 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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