Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x-x^3 x-x^3
  • x^4-x^3 x^4-x^3
  • x^4-2x^2 x^4-2x^2
  • x^2-3*x+1 x^2-3*x+1

  • Expresiones idénticas

  • y= uno /3cos^2x- uno /3sin^2x+ uno
  • y es igual a 1 dividir por 3 coseno de al cuadrado x menos 1 dividir por 3 seno de al cuadrado x más 1
  • y es igual a uno dividir por 3 coseno de al cuadrado x menos uno dividir por 3 seno de al cuadrado x más uno
  • y=1/3cos2x-1/3sin2x+1
  • y=1/3cos²x-1/3sin²x+1
  • y=1/3cos en el grado 2x-1/3sin en el grado 2x+1
  • y=1 dividir por 3cos^2x-1 dividir por 3sin^2x+1

  • Expresiones semejantes

  • y=1/3cos^2x-1/3sin^2x-1
  • y=1/3cos^2x+1/3sin^2x+1
Trazado el gráfico de la función/ y=1/3cos^2x-1/3sin^2x+1

Gráfico de la función y = y=1/3cos^2x-1/3sin^2x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2         2       
       cos (x)   sin (x)    
f(x) = ------- - ------- + 1
          3         3
f(x)=(−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1f{\left(x \right)} = \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1 
f = -sin(x)^2/3 + cos(x)^2/3 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.51.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1=0\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2/3 - sin(x)^2/3 + 1.
(−sin⁡2(0)3+cos⁡2(0)3)+1\left(- \frac{\sin^{2}{\left(0 \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(0 \right)}}{3}\right) + 1
Resultado:
f(0)=43f{\left(0 \right)} = \frac{4}{3}
Punto:
(0, 4/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)cos⁡(x)3=0- \frac{4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4/3)

 -pi       
(----, 2/3)
  2        

 pi      
(--, 2/3)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))3=0\frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1)=⟨23,43⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1\right) = \left\langle \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨23,43⟩y = \left\langle \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1)=⟨23,43⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1\right) = \left\langle \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨23,43⟩y = \left\langle \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2/3 - sin(x)^2/3 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1=(−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1 = \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1
- Sí
(−sin⁡2(x)3+cos⁡2(x)3)+1=(sin⁡2(x)3−cos⁡2(x)3)−1\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) + 1 = \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{3}\right) - 1
- No
es decir, función
es
par
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