Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2(sqrt((x^2)+4))

Gráfico de la función y = 2(sqrt((x^2)+4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ________
           /  2     
f(x) = 2*\/  x  + 4
f(x)=2x2+4f{\left(x \right)} = 2 \sqrt{x^{2} + 4} 
f = 2*sqrt(x^2 + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010040
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x2+4=02 \sqrt{x^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sqrt(x^2 + 4).
202+42 \sqrt{0^{2} + 4}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2+4=0\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x2x2+4−1)x2+4=0- \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x2+4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sqrt{x^{2} + 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x2+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x^{2} + 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sqrt(x^2 + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x2+4x)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sqrt{x^{2} + 4}}{x}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2xy = - 2 x
lim⁡x→∞(2x2+4x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{x^{2} + 4}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x2+4=2x2+42 \sqrt{x^{2} + 4} = 2 \sqrt{x^{2} + 4}
- Sí
2x2+4=−2x2+42 \sqrt{x^{2} + 4} = - 2 \sqrt{x^{2} + 4}
- No
es decir, función
es
par
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