Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cosx+cos3x

Gráfico de la función y = cosx+cos3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) + cos(3*x)
f(x)=cos⁡(x)+cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} 
f = cos(x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π4x_{3} = - \frac{\pi}{4}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=3π4x_{6} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=−41.6261026600648x_{2} = -41.6261026600648
x3=18.0641577581413x_{3} = 18.0641577581413
x4=25.9181393921158x_{4} = 25.9181393921158
x5=−14.1371669411541x_{5} = -14.1371669411541
x6=40.0553063332699x_{6} = 40.0553063332699
x7=−47.9092879672443x_{7} = -47.9092879672443
x8=−1.5707963267949x_{8} = -1.5707963267949
x9=23.5619449019235x_{9} = 23.5619449019235
x10=82.4668071567321x_{10} = 82.4668071567321
x11=73.8274273593601x_{11} = 73.8274273593601
x12=−62.0464549083984x_{12} = -62.0464549083984
x13=4.71238898038469x_{13} = 4.71238898038469
x14=−3.92699081698724x_{14} = -3.92699081698724
x15=−95.8185759344887x_{15} = -95.8185759344887
x16=−84.037603483527x_{16} = -84.037603483527
x17=26.7035375555132x_{17} = 26.7035375555132
x18=−49.4800842940392x_{18} = -49.4800842940392
x19=−63.6172512351933x_{19} = -63.6172512351933
x20=55.7632696012188x_{20} = 55.7632696012188
x21=20.4203522483337x_{21} = 20.4203522483337
x22=91.8915851175014x_{22} = 91.8915851175014
x23=67.5442420521806x_{23} = 67.5442420521806
x24=60.4756585816035x_{24} = 60.4756585816035
x25=−10.2101761241668x_{25} = -10.2101761241668
x26=36.1283155162826x_{26} = 36.1283155162826
x27=58.1194640914112x_{27} = 58.1194640914112
x28=−29.845130209103x_{28} = -29.845130209103
x29=32.2013246992954x_{29} = 32.2013246992954
x30=−85.6083998103219x_{30} = -85.6083998103219
x31=33.7721210260903x_{31} = 33.7721210260903
x32=−32.2013246992954x_{32} = -32.2013246992954
x33=−82.4668071567321x_{33} = -82.4668071567321
x34=3.92699081698724x_{34} = 3.92699081698724
x35=7.85398163397448x_{35} = 7.85398163397448
x36=2.35619449019234x_{36} = 2.35619449019234
x37=16.4933614313464x_{37} = 16.4933614313464
x38=76.1836218495525x_{38} = 76.1836218495525
x39=89.5353906273091x_{39} = 89.5353906273091
x40=51.8362787842316x_{40} = 51.8362787842316
x41=−98.174770424681x_{41} = -98.174770424681
x42=46.3384916404494x_{42} = 46.3384916404494
x43=70.6858347057703x_{43} = 70.6858347057703
x44=80.1106126665397x_{44} = 80.1106126665397
x45=47.9092879672443x_{45} = 47.9092879672443
x46=99.7455667514759x_{46} = 99.7455667514759
x47=−91.8915851175014x_{47} = -91.8915851175014
x48=45.553093477052x_{48} = 45.553093477052
x49=−33.7721210260903x_{49} = -33.7721210260903
x50=−19.6349540849362x_{50} = -19.6349540849362
x51=14.1371669411541x_{51} = 14.1371669411541
x52=−60.4756585816035x_{52} = -60.4756585816035
x53=−67.5442420521806x_{53} = -67.5442420521806
x54=−71.4712328691678x_{54} = -71.4712328691678
x55=84.037603483527x_{55} = 84.037603483527
x56=42.4115008234622x_{56} = 42.4115008234622
x57=−76.1836218495525x_{57} = -76.1836218495525
x58=−45.553093477052x_{58} = -45.553093477052
x59=−58.1194640914112x_{59} = -58.1194640914112
x60=68.329640215578x_{60} = 68.329640215578
x61=−11.7809724509617x_{61} = -11.7809724509617
x62=−27.4889357189107x_{62} = -27.4889357189107
x63=62.0464549083984x_{63} = 62.0464549083984
x64=−25.9181393921158x_{64} = -25.9181393921158
x65=−40.0553063332699x_{65} = -40.0553063332699
x66=−5.49778714378214x_{66} = -5.49778714378214
x67=−32.9867228626928x_{67} = -32.9867228626928
x68=54.1924732744239x_{68} = 54.1924732744239
x69=62516.1230101101x_{69} = 62516.1230101101
x70=−17.2787595947439x_{70} = -17.2787595947439
x71=95.8185759344887x_{71} = 95.8185759344887
x72=90.3207887907066x_{72} = 90.3207887907066
x73=−55.7632696012188x_{73} = -55.7632696012188
x74=−36.1283155162826x_{74} = -36.1283155162826
x75=11.7809724509617x_{75} = 11.7809724509617
x76=1.5707963267949x_{76} = 1.5707963267949
x77=92.6769832808989x_{77} = 92.6769832808989
x78=−51.8362787842316x_{78} = -51.8362787842316
x79=−54.1924732744239x_{79} = -54.1924732744239
x80=−99.7455667514759x_{80} = -99.7455667514759
x81=−18.0641577581413x_{81} = -18.0641577581413
x82=−89.5353906273091x_{82} = -89.5353906273091
x83=38.484510006475x_{83} = 38.484510006475
x84=−77.7544181763474x_{84} = -77.7544181763474
x85=−73.8274273593601x_{85} = -73.8274273593601
x86=10.2101761241668x_{86} = 10.2101761241668
x87=29.845130209103x_{87} = 29.845130209103
x88=98.174770424681x_{88} = 98.174770424681
x89=86.3937979737193x_{89} = 86.3937979737193
x90=64.4026493985908x_{90} = 64.4026493985908
x91=−69.9004365423729x_{91} = -69.9004365423729
x92=69.9004365423729x_{92} = 69.9004365423729
x93=24.3473430653209x_{93} = 24.3473430653209
x94=−23.5619449019235x_{94} = -23.5619449019235
x95=−93.4623814442964x_{95} = -93.4623814442964
x96=−80.1106126665397x_{96} = -80.1106126665397
x97=77.7544181763474x_{97} = 77.7544181763474
x98=−7.85398163397448x_{98} = -7.85398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + cos(3*x).
cos⁡(0)+cos⁡(0⋅3)\cos{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−3sin⁡(3x)=0- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−2−5i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−2+5i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, -2)

   /     /         ___\         \     /  /     /         ___\         \\      /    /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/     |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|      |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
                2                     \               2                /      \                2                 / 

   /     /         ___\         \     /  /     /         ___\         \\      /    /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/     |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|      |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
                2                     \               2                /      \                2                 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x2=−π2+atan⁡(52)2x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}
x3=−atan⁡(52)2+π2x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(52)2]∪[0,−atan⁡(52)2+π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(cos⁡(x)+9cos⁡(3x))=0- (\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(9)−log⁡(4−65i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(9)−log⁡(4+65i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x5=−ilog⁡(−4−65i3)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}
x6=−ilog⁡(−4+65i3)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π−atan⁡(sin⁡(atan⁡(654)2)cos⁡(atan⁡(654)2)),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=cos⁡(x)+cos⁡(3x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}
- Sí
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=−cos⁡(x)−cos⁡(3x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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