Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- cosx+cos3x
- coseno de x más coseno de 3x
-
Expresiones semejantes
- (16*cos(x)+(cos(3*x)+sin(3*x))*exp(x)+sin(x))*exp(x)
- cosx-cos3x
- (-cos(x)+cos(3*x))/(-1+cos(x))
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx×ctgx
- cosx-sinx-1
Gráfico de la función y = cosx+cos3x
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(x) + cos(3*x)
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
f = cos(x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = -41.6261026600648$$
$$x_{3} = 18.0641577581413$$
$$x_{4} = 25.9181393921158$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = 40.0553063332699$$
$$x_{7} = -47.9092879672443$$
$$x_{8} = -1.5707963267949$$
$$x_{9} = 23.5619449019235$$
$$x_{10} = 82.4668071567321$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = -62.0464549083984$$
$$x_{13} = 4.71238898038469$$
$$x_{14} = -3.92699081698724$$
$$x_{15} = -95.8185759344887$$
$$x_{16} = -84.037603483527$$
$$x_{17} = 26.7035375555132$$
$$x_{18} = -49.4800842940392$$
$$x_{19} = -63.6172512351933$$
$$x_{20} = 55.7632696012188$$
$$x_{21} = 20.4203522483337$$
$$x_{22} = 91.8915851175014$$
$$x_{23} = 67.5442420521806$$
$$x_{24} = 60.4756585816035$$
$$x_{25} = -10.2101761241668$$
$$x_{26} = 36.1283155162826$$
$$x_{27} = 58.1194640914112$$
$$x_{28} = -29.845130209103$$
$$x_{29} = 32.2013246992954$$
$$x_{30} = -85.6083998103219$$
$$x_{31} = 33.7721210260903$$
$$x_{32} = -32.2013246992954$$
$$x_{33} = -82.4668071567321$$
$$x_{34} = 3.92699081698724$$
$$x_{35} = 7.85398163397448$$
$$x_{36} = 2.35619449019234$$
$$x_{37} = 16.4933614313464$$
$$x_{38} = 76.1836218495525$$
$$x_{39} = 89.5353906273091$$
$$x_{40} = 51.8362787842316$$
$$x_{41} = -98.174770424681$$
$$x_{42} = 46.3384916404494$$
$$x_{43} = 70.6858347057703$$
$$x_{44} = 80.1106126665397$$
$$x_{45} = 47.9092879672443$$
$$x_{46} = 99.7455667514759$$
$$x_{47} = -91.8915851175014$$
$$x_{48} = 45.553093477052$$
$$x_{49} = -33.7721210260903$$
$$x_{50} = -19.6349540849362$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -60.4756585816035$$
$$x_{53} = -67.5442420521806$$
$$x_{54} = -71.4712328691678$$
$$x_{55} = 84.037603483527$$
$$x_{56} = 42.4115008234622$$
$$x_{57} = -76.1836218495525$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = -58.1194640914112$$
$$x_{60} = 68.329640215578$$
$$x_{61} = -11.7809724509617$$
$$x_{62} = -27.4889357189107$$
$$x_{63} = 62.0464549083984$$
$$x_{64} = -25.9181393921158$$
$$x_{65} = -40.0553063332699$$
$$x_{66} = -5.49778714378214$$
$$x_{67} = -32.9867228626928$$
$$x_{68} = 54.1924732744239$$
$$x_{69} = 62516.1230101101$$
$$x_{70} = -17.2787595947439$$
$$x_{71} = 95.8185759344887$$
$$x_{72} = 90.3207887907066$$
$$x_{73} = -55.7632696012188$$
$$x_{74} = -36.1283155162826$$
$$x_{75} = 11.7809724509617$$
$$x_{76} = 1.5707963267949$$
$$x_{77} = 92.6769832808989$$
$$x_{78} = -51.8362787842316$$
$$x_{79} = -54.1924732744239$$
$$x_{80} = -99.7455667514759$$
$$x_{81} = -18.0641577581413$$
$$x_{82} = -89.5353906273091$$
$$x_{83} = 38.484510006475$$
$$x_{84} = -77.7544181763474$$
$$x_{85} = -73.8274273593601$$
$$x_{86} = 10.2101761241668$$
$$x_{87} = 29.845130209103$$
$$x_{88} = 98.174770424681$$
$$x_{89} = 86.3937979737193$$
$$x_{90} = 64.4026493985908$$
$$x_{91} = -69.9004365423729$$
$$x_{92} = 69.9004365423729$$
$$x_{93} = 24.3473430653209$$
$$x_{94} = -23.5619449019235$$
$$x_{95} = -93.4623814442964$$
$$x_{96} = -80.1106126665397$$
$$x_{97} = 77.7544181763474$$
$$x_{98} = -7.85398163397448$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = -41.6261026600648$$
$$x_{3} = 18.0641577581413$$
$$x_{4} = 25.9181393921158$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = 40.0553063332699$$
$$x_{7} = -47.9092879672443$$
$$x_{8} = -1.5707963267949$$
$$x_{9} = 23.5619449019235$$
$$x_{10} = 82.4668071567321$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = -62.0464549083984$$
$$x_{13} = 4.71238898038469$$
$$x_{14} = -3.92699081698724$$
$$x_{15} = -95.8185759344887$$
$$x_{16} = -84.037603483527$$
$$x_{17} = 26.7035375555132$$
$$x_{18} = -49.4800842940392$$
$$x_{19} = -63.6172512351933$$
$$x_{20} = 55.7632696012188$$
$$x_{21} = 20.4203522483337$$
$$x_{22} = 91.8915851175014$$
$$x_{23} = 67.5442420521806$$
$$x_{24} = 60.4756585816035$$
$$x_{25} = -10.2101761241668$$
$$x_{26} = 36.1283155162826$$
$$x_{27} = 58.1194640914112$$
$$x_{28} = -29.845130209103$$
$$x_{29} = 32.2013246992954$$
$$x_{30} = -85.6083998103219$$
$$x_{31} = 33.7721210260903$$
$$x_{32} = -32.2013246992954$$
$$x_{33} = -82.4668071567321$$
$$x_{34} = 3.92699081698724$$
$$x_{35} = 7.85398163397448$$
$$x_{36} = 2.35619449019234$$
$$x_{37} = 16.4933614313464$$
$$x_{38} = 76.1836218495525$$
$$x_{39} = 89.5353906273091$$
$$x_{40} = 51.8362787842316$$
$$x_{41} = -98.174770424681$$
$$x_{42} = 46.3384916404494$$
$$x_{43} = 70.6858347057703$$
$$x_{44} = 80.1106126665397$$
$$x_{45} = 47.9092879672443$$
$$x_{46} = 99.7455667514759$$
$$x_{47} = -91.8915851175014$$
$$x_{48} = 45.553093477052$$
$$x_{49} = -33.7721210260903$$
$$x_{50} = -19.6349540849362$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -60.4756585816035$$
$$x_{53} = -67.5442420521806$$
$$x_{54} = -71.4712328691678$$
$$x_{55} = 84.037603483527$$
$$x_{56} = 42.4115008234622$$
$$x_{57} = -76.1836218495525$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = -58.1194640914112$$
$$x_{60} = 68.329640215578$$
$$x_{61} = -11.7809724509617$$
$$x_{62} = -27.4889357189107$$
$$x_{63} = 62.0464549083984$$
$$x_{64} = -25.9181393921158$$
$$x_{65} = -40.0553063332699$$
$$x_{66} = -5.49778714378214$$
$$x_{67} = -32.9867228626928$$
$$x_{68} = 54.1924732744239$$
$$x_{69} = 62516.1230101101$$
$$x_{70} = -17.2787595947439$$
$$x_{71} = 95.8185759344887$$
$$x_{72} = 90.3207887907066$$
$$x_{73} = -55.7632696012188$$
$$x_{74} = -36.1283155162826$$
$$x_{75} = 11.7809724509617$$
$$x_{76} = 1.5707963267949$$
$$x_{77} = 92.6769832808989$$
$$x_{78} = -51.8362787842316$$
$$x_{79} = -54.1924732744239$$
$$x_{80} = -99.7455667514759$$
$$x_{81} = -18.0641577581413$$
$$x_{82} = -89.5353906273091$$
$$x_{83} = 38.484510006475$$
$$x_{84} = -77.7544181763474$$
$$x_{85} = -73.8274273593601$$
$$x_{86} = 10.2101761241668$$
$$x_{87} = 29.845130209103$$
$$x_{88} = 98.174770424681$$
$$x_{89} = 86.3937979737193$$
$$x_{90} = 64.4026493985908$$
$$x_{91} = -69.9004365423729$$
$$x_{92} = 69.9004365423729$$
$$x_{93} = 24.3473430653209$$
$$x_{94} = -23.5619449019235$$
$$x_{95} = -93.4623814442964$$
$$x_{96} = -80.1106126665397$$
$$x_{97} = 77.7544181763474$$
$$x_{98} = -7.85398163397448$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
(pi, -2)
/ / ___\ \ / / / ___\ \\ / / / ___\ \\
I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/ |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / / / ___\ \ / / / ___\ \\ / / / ___\ \\
I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/ |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|
(--------------------------------, cos|--------------------------------| + cos|----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par