Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=3x^3-x
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
x/((x-1)(x-3))
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(uno / dos)^x-(uno / dos)^(x- dos)
- x al cuadrado multiplicar por (1 dividir por 2) en el grado x menos (1 dividir por 2) en el grado (x menos 2)
- x en el grado dos multiplicar por (uno dividir por dos) en el grado x menos (uno dividir por dos) en el grado (x menos dos)
- x2*(1/2)x-(1/2)(x-2)
- x2*1/2x-1/2x-2
- x²*(1/2)^x-(1/2)^(x-2)
- x en el grado 2*(1/2) en el grado x-(1/2) en el grado (x-2)
- x^2(1/2)^x-(1/2)^(x-2)
- x2(1/2)x-(1/2)(x-2)
- x21/2x-1/2x-2
- x^21/2^x-1/2^x-2
- x^2*(1 dividir por 2)^x-(1 dividir por 2)^(x-2)
-
Expresiones semejantes
- x^2*(1/2)^x+(1/2)^(x-2)
- x^2*(1/2)^x-(1/2)^(x+2)
Gráfico de la función y = x^2*(1/2)^x-(1/2)^(x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
2 -x 2 - x f(x) = x *2 - 2
$$f{\left(x \right)} = - \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}$$
f = -(1/2)^(x - 2) + (1/2)^x*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 57.0284869407669$$
$$x_{2} = 129.286700184541$$
$$x_{3} = 89.752520929771$$
$$x_{4} = 81.9202760269166$$
$$x_{5} = 99.5913531732204$$
$$x_{6} = 70.2781170738752$$
$$x_{7} = 117.385792154371$$
$$x_{8} = 58.8834621633725$$
$$x_{9} = 115.404755838134$$
$$x_{10} = 51.6020322974856$$
$$x_{11} = 93.682675396282$$
$$x_{12} = 131.272277164141$$
$$x_{13} = 83.8742537253905$$
$$x_{14} = 105.513069084539$$
$$x_{15} = 76.0790148096127$$
$$x_{16} = 85.8311269918611$$
$$x_{17} = 91.716598184265$$
$$x_{18} = 64.5357490429199$$
$$x_{19} = 101.563955641277$$
$$x_{20} = 68.3563012652945$$
$$x_{21} = 125.317201772681$$
$$x_{22} = 79.9695001061819$$
$$x_{23} = 66.4418078400044$$
$$x_{24} = 74.1401832473195$$
$$x_{25} = 103.53789289832$$
$$x_{26} = 121.350131296059$$
$$x_{27} = 107.489397363245$$
$$x_{28} = 72.2063343373465$$
$$x_{29} = 97.6201915906653$$
$$x_{30} = 52.166051705194$$
$$x_{31} = 123.33334520012$$
$$x_{32} = 62.6394826296252$$
$$x_{33} = 111.445201846362$$
$$x_{34} = 78.0222776614937$$
$$x_{35} = 60.7546863035367$$
$$x_{36} = 55.1932345128199$$
$$x_{37} = 109.466798877019$$
$$x_{38} = 87.7906278975308$$
$$x_{39} = 127.301664653329$$
$$x_{40} = 95.6505886435496$$
$$x_{41} = 113.424540788525$$
$$x_{42} = 53.3823172111448$$
$$x_{43} = -2$$
$$x_{44} = 119.367599402058$$
$$x_{45} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 57.0284869407669$$
$$x_{2} = 129.286700184541$$
$$x_{3} = 89.752520929771$$
$$x_{4} = 81.9202760269166$$
$$x_{5} = 99.5913531732204$$
$$x_{6} = 70.2781170738752$$
$$x_{7} = 117.385792154371$$
$$x_{8} = 58.8834621633725$$
$$x_{9} = 115.404755838134$$
$$x_{10} = 51.6020322974856$$
$$x_{11} = 93.682675396282$$
$$x_{12} = 131.272277164141$$
$$x_{13} = 83.8742537253905$$
$$x_{14} = 105.513069084539$$
$$x_{15} = 76.0790148096127$$
$$x_{16} = 85.8311269918611$$
$$x_{17} = 91.716598184265$$
$$x_{18} = 64.5357490429199$$
$$x_{19} = 101.563955641277$$
$$x_{20} = 68.3563012652945$$
$$x_{21} = 125.317201772681$$
$$x_{22} = 79.9695001061819$$
$$x_{23} = 66.4418078400044$$
$$x_{24} = 74.1401832473195$$
$$x_{25} = 103.53789289832$$
$$x_{26} = 121.350131296059$$
$$x_{27} = 107.489397363245$$
$$x_{28} = 72.2063343373465$$
$$x_{29} = 97.6201915906653$$
$$x_{30} = 52.166051705194$$
$$x_{31} = 123.33334520012$$
$$x_{32} = 62.6394826296252$$
$$x_{33} = 111.445201846362$$
$$x_{34} = 78.0222776614937$$
$$x_{35} = 60.7546863035367$$
$$x_{36} = 55.1932345128199$$
$$x_{37} = 109.466798877019$$
$$x_{38} = 87.7906278975308$$
$$x_{39} = 127.301664653329$$
$$x_{40} = 95.6505886435496$$
$$x_{41} = 113.424540788525$$
$$x_{42} = 53.3823172111448$$
$$x_{43} = -2$$
$$x_{44} = 119.367599402058$$
$$x_{45} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2^{2 - x} \log{\left(2 \right)} - 2^{- x} x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 \cdot 2^{- x} x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2^{2 - x} \log{\left(2 \right)} - 2^{- x} x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 \cdot 2^{- x} x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:
_______________
/ 2 2 _______________
_______________ 1 - \/ 1 + 4*log (2) / _______________\ / 2
/ 2 2 - ---------------------- | / 2 | -1 + \/ 1 + 4*log (2)
1 - \/ 1 + 4*log (2) log(2) \1 - \/ 1 + 4*log (2) / *e
(----------------------, - 2 + --------------------------------------------------)
log(2) 2
log (2) _______________
/ 2 2 _______________
_______________ 1 + \/ 1 + 4*log (2) / _______________\ / 2
/ 2 2 - ---------------------- | / 2 | -1 - \/ 1 + 4*log (2)
1 + \/ 1 + 4*log (2) log(2) \1 + \/ 1 + 4*log (2) / *e
(----------------------, - 2 + --------------------------------------------------)
log(2) 2
log (2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2^{- x} \left(x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} - 4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2^{- x} \left(x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} - 4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(1/2)^x - (1/2)^(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 2^{x} x^{2} - 2^{x + 2}$$
- No
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = - 2^{x} x^{2} + 2^{x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 2^{x} x^{2} - 2^{x + 2}$$
- No
$$- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = - 2^{x} x^{2} + 2^{x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar