Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=cosx y=cosx
  • y=3x^2-x^3 y=3x^2-x^3
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 1/((x-1)^2) 1/((x-1)^2)

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos *(uno / dos)^x-(uno / dos)^(x- dos)
  • x al cuadrado multiplicar por (1 dividir por 2) en el grado x menos (1 dividir por 2) en el grado (x menos 2)
  • x en el grado dos multiplicar por (uno dividir por dos) en el grado x menos (uno dividir por dos) en el grado (x menos dos)
  • x2*(1/2)x-(1/2)(x-2)
  • x2*1/2x-1/2x-2
  • x²*(1/2)^x-(1/2)^(x-2)
  • x en el grado 2*(1/2) en el grado x-(1/2) en el grado (x-2)
  • x^2(1/2)^x-(1/2)^(x-2)
  • x2(1/2)x-(1/2)(x-2)
  • x21/2x-1/2x-2
  • x^21/2^x-1/2^x-2
  • x^2*(1 dividir por 2)^x-(1 dividir por 2)^(x-2)

  • Expresiones semejantes

  • x^2*(1/2)^x+(1/2)^(x-2)
  • x^2*(1/2)^x-(1/2)^(x+2)
Trazado el gráfico de la función/ x^2*(1/2)^x-(1/2)^(x-2)

Gráfico de la función y = x^2*(1/2)^x-(1/2)^(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2  -x    2 - x
f(x) = x *2   - 2
f(x)=−(12)x−2+(12)xx2f{\left(x \right)} = - \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} 
f = -(1/2)^(x - 2) + (1/2)^x*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(12)x−2+(12)xx2=0- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=57.0284869407669x_{1} = 57.0284869407669
x2=129.286700184541x_{2} = 129.286700184541
x3=89.752520929771x_{3} = 89.752520929771
x4=81.9202760269166x_{4} = 81.9202760269166
x5=99.5913531732204x_{5} = 99.5913531732204
x6=70.2781170738752x_{6} = 70.2781170738752
x7=117.385792154371x_{7} = 117.385792154371
x8=58.8834621633725x_{8} = 58.8834621633725
x9=115.404755838134x_{9} = 115.404755838134
x10=51.6020322974856x_{10} = 51.6020322974856
x11=93.682675396282x_{11} = 93.682675396282
x12=131.272277164141x_{12} = 131.272277164141
x13=83.8742537253905x_{13} = 83.8742537253905
x14=105.513069084539x_{14} = 105.513069084539
x15=76.0790148096127x_{15} = 76.0790148096127
x16=85.8311269918611x_{16} = 85.8311269918611
x17=91.716598184265x_{17} = 91.716598184265
x18=64.5357490429199x_{18} = 64.5357490429199
x19=101.563955641277x_{19} = 101.563955641277
x20=68.3563012652945x_{20} = 68.3563012652945
x21=125.317201772681x_{21} = 125.317201772681
x22=79.9695001061819x_{22} = 79.9695001061819
x23=66.4418078400044x_{23} = 66.4418078400044
x24=74.1401832473195x_{24} = 74.1401832473195
x25=103.53789289832x_{25} = 103.53789289832
x26=121.350131296059x_{26} = 121.350131296059
x27=107.489397363245x_{27} = 107.489397363245
x28=72.2063343373465x_{28} = 72.2063343373465
x29=97.6201915906653x_{29} = 97.6201915906653
x30=52.166051705194x_{30} = 52.166051705194
x31=123.33334520012x_{31} = 123.33334520012
x32=62.6394826296252x_{32} = 62.6394826296252
x33=111.445201846362x_{33} = 111.445201846362
x34=78.0222776614937x_{34} = 78.0222776614937
x35=60.7546863035367x_{35} = 60.7546863035367
x36=55.1932345128199x_{36} = 55.1932345128199
x37=109.466798877019x_{37} = 109.466798877019
x38=87.7906278975308x_{38} = 87.7906278975308
x39=127.301664653329x_{39} = 127.301664653329
x40=95.6505886435496x_{40} = 95.6505886435496
x41=113.424540788525x_{41} = 113.424540788525
x42=53.3823172111448x_{42} = 53.3823172111448
x43=−2x_{43} = -2
x44=119.367599402058x_{44} = 119.367599402058
x45=2x_{45} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*(1/2)^x - (1/2)^(x - 2).
 2  0    2
0 *2  - 2

Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
22−xlog⁡(2)−2−xx2log⁡(2)+2⋅2−xx=02^{2 - x} \log{\left(2 \right)} - 2^{- x} x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 \cdot 2^{- x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−1+4log⁡(2)2log⁡(2)x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}
x2=1+1+4log⁡(2)2log⁡(2)x_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                                       _______________                                                      
                                      /          2                               2          _______________ 
        _______________         1 - \/  1 + 4*log (2)    /       _______________\          /          2     
       /          2         2 - ----------------------   |      /          2    |   -1 + \/  1 + 4*log (2)  
 1 - \/  1 + 4*log (2)                  log(2)           \1 - \/  1 + 4*log (2) / *e                        
(----------------------, - 2                           + --------------------------------------------------)
         log(2)                                                                  2                          
                                                                              log (2)                       

                                       _______________                                                      
                                      /          2                               2          _______________ 
        _______________         1 + \/  1 + 4*log (2)    /       _______________\          /          2     
       /          2         2 - ----------------------   |      /          2    |   -1 - \/  1 + 4*log (2)  
 1 + \/  1 + 4*log (2)                  log(2)           \1 + \/  1 + 4*log (2) / *e                        
(----------------------, - 2                           + --------------------------------------------------)
         log(2)                                                                  2                          
                                                                              log (2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1−1+4log⁡(2)2log⁡(2)x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}
Puntos máximos de la función:
x1=1+1+4log⁡(2)2log⁡(2)x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}
Decrece en los intervalos
[1−1+4log⁡(2)2log⁡(2),1+1+4log⁡(2)2log⁡(2)]\left[\frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1−1+4log⁡(2)2log⁡(2)]∪[1+1+4log⁡(2)2log⁡(2),∞)\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−x(x2log⁡(2)2−4xlog⁡(2)−4log⁡(2)2+2)=02^{- x} \left(x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} - 4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−4log⁡(2)2+2log⁡(2)x_{1} = \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}
x2=4log⁡(2)2+2+2log⁡(2)x_{2} = \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2−4log⁡(2)2+2log⁡(2)]∪[4log⁡(2)2+2+2log⁡(2),∞)\left(-\infty, \frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2−4log⁡(2)2+2log⁡(2),4log⁡(2)2+2+2log⁡(2)]\left[\frac{2 - \sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\sqrt{4 \log{\left(2 \right)}^{2} + 2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(12)x−2+(12)xx2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−(12)x−2+(12)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(1/2)^x - (1/2)^(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(12)x−2+(12)xx2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−(12)x−2+(12)xx2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(12)x−2+(12)xx2=2xx2−2x+2- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = 2^{x} x^{2} - 2^{x + 2}
- No
−(12)x−2+(12)xx2=−2xx2+2x+2- \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} x^{2} = - 2^{x} x^{2} + 2^{x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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