Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^2/sqrt(1-x^3)

Gráfico de la función y = x^2/sqrt(1-x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2    
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /      3 
       \/  1 - x
f(x)=x21−x3f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} 
f = x^2/sqrt(1 - x^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x21−x3=0\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/sqrt(1 - x^3).
021−03\frac{0^{2}}{\sqrt{1 - 0^{3}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x42(1−x3)32+2x1−x3=0\frac{3 x^{4}}{2 \left(1 - x^{3}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=223x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

            3 ___   ___ 
  2/3  -2*I*\/ 2 *\/ 3  
(2  , ----------------)
              3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3x3(9x3x3−1−4)4(1−x3)+6x31−x3+21−x3=0\frac{- \frac{3 x^{3} \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 4\right)}{4 \left(1 - x^{3}\right)} + \frac{6 x^{3}}{1 - x^{3}} + 2}{\sqrt{1 - x^{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
x2=1+3x_{2} = 1 + \sqrt{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−3x3(9x3x3−1−4)4(1−x3)+6x31−x3+21−x3)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{3 x^{3} \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 4\right)}{4 \left(1 - x^{3}\right)} + \frac{6 x^{3}}{1 - x^{3}} + 2}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(−3x3(9x3x3−1−4)4(1−x3)+6x31−x3+21−x3)=−∞i\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{3 x^{3} \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 4\right)}{4 \left(1 - x^{3}\right)} + \frac{6 x^{3}}{1 - x^{3}} + 2}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1−3,∞)\left[1 - \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1−3]\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x21−x3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x21−x3)=−∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/sqrt(1 - x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x1−x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x1−x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{3}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x21−x3=x2x3+1\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}
- No
x21−x3=−x2x3+1\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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