Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ tres -6x^ dos -15x+ cuatro
- x al cubo menos 6x al cuadrado menos 15x más 4
- x en el grado tres menos 6x en el grado dos menos 15x más cuatro
- x3-6x2-15x+4
- x³-6x²-15x+4
- x en el grado 3-6x en el grado 2-15x+4
-
Expresiones semejantes
- x^3-6x^2+15x+4
- x^3+6x^2-15x+4
- x^3-6x^2-15x-4
Gráfico de la función y = x^3-6x^2-15x+4
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - 6*x - 15*x + 4
$$f{\left(x \right)} = \left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4$$
f = -15*x + x^3 - 6*x^2 + 4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 + \frac{9}{\sqrt[3]{21 + 12 \sqrt{2} i}} + \sqrt[3]{21 + 12 \sqrt{2} i}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 7.84667202780067$$
$$x_{2} = -2.0905205106702$$
$$x_{3} = 0.243848482869538$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 + \frac{9}{\sqrt[3]{21 + 12 \sqrt{2} i}} + \sqrt[3]{21 + 12 \sqrt{2} i}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 7.84667202780067$$
$$x_{2} = -2.0905205106702$$
$$x_{3} = 0.243848482869538$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 12)
(5, -96)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, 5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 - 15*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 4$$
- No
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 4$$
- No
$$\left(- 15 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar