Sr Examen

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Gráfico de la función y = 4x-x^(2)-2cos(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              2               
f(x) = 4*x - x  - 2*cos(x - 2)
f(x)=(x2+4x)2cos(x2)f{\left(x \right)} = \left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)}
f = -x^2 + 4*x - 2*cos(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+4x)2cos(x2)=0\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.313589349048488x_{1} = -0.313589349048488
x2=4.31358934904849x_{2} = 4.31358934904849
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x - x^2 - 2*cos(x - 2).
(0402)2cos(2)\left(0 \cdot 4 - 0^{2}\right) - 2 \cos{\left(-2 \right)}
Resultado:
f(0)=2cos(2)f{\left(0 \right)} = - 2 \cos{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -2*cos(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2sin(x2)+4=0- 2 x + 2 \sin{\left(x - 2 \right)} + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.99999853136142x_{1} = 1.99999853136142
x2=1.99986004205079x_{2} = 1.99986004205079
x3=1.99997693490511x_{3} = 1.99997693490511
x4=1.99997478750825x_{4} = 1.99997478750825
x5=1.99998198249997x_{5} = 1.99998198249997
x6=2.00011552634979x_{6} = 2.00011552634979
x7=1.99996822580813x_{7} = 1.99996822580813
x8=1.99998527133534x_{8} = 1.99998527133534
x9=2.00009877477567x_{9} = 2.00009877477567
x10=1.99997875950645x_{10} = 1.99997875950645
x11=2.00014741025815x_{11} = 2.00014741025815
x12=2.00011649190968x_{12} = 2.00011649190968
x13=1.99984617177994x_{13} = 1.99984617177994
x14=2x_{14} = 2
x15=2.00000389118698x_{15} = 2.00000389118698
x16=1.99998015911684x_{16} = 1.99998015911684
x17=1.99986481519128x_{17} = 1.99986481519128
x18=1.99991344852747x_{18} = 1.99991344852747
x19=1.99984934958315x_{19} = 1.99984934958315
x20=2.00013790669143x_{20} = 2.00013790669143
x21=1.99990165141378x_{21} = 1.99990165141378
x22=2.0000249127327x_{22} = 2.0000249127327
x23=1.99991047681342x_{23} = 1.99991047681342
x24=2.00010358698985x_{24} = 2.00010358698985
x25=1.99989813639817x_{25} = 1.99989813639817
x26=2.00013292071892x_{26} = 2.00013292071892
x27=1.99988062696976x_{27} = 1.99988062696976
x28=1.99993229223916x_{28} = 1.99993229223916
Signos de extremos en los puntos:
(1.9999985313614215, 2)

(1.9998600420507946, 2)

(1.999976934905112, 2)

(1.999974787508247, 2)

(1.9999819824999705, 2)

(2.0001155263497923, 2)

(1.9999682258081273, 2)

(1.999985271335344, 2)

(2.000098774775672, 2)

(1.9999787595064489, 2)

(2.000147410258149, 2)

(2.000116491909676, 2)

(1.9998461717799394, 2)

(2, 2)

(2.000003891186976, 2)

(1.9999801591168425, 2)

(1.9998648151912812, 2)

(1.9999134485274717, 2)

(1.9998493495831506, 2)

(2.0001379066914278, 2)

(1.9999016514137793, 2)

(2.0000249127326986, 2)

(1.999910476813423, 2)

(2.0001035869898467, 2)

(1.9998981363981723, 2)

(2.000132920718925, 2)

(1.9998806269697624, 2)

(1.9999322922391571, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2.00011649190968x_{1} = 2.00011649190968
x2=2.00000389118698x_{2} = 2.00000389118698
Puntos máximos de la función:
x2=2.0000249127327x_{2} = 2.0000249127327
Decrece en los intervalos
[2.00000389118698,2.0000249127327][2.00011649190968,)\left[2.00000389118698, 2.0000249127327\right] \cup \left[2.00011649190968, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,2.00000389118698][2.0000249127327,2.00011649190968]\left(-\infty, 2.00000389118698\right] \cup \left[2.0000249127327, 2.00011649190968\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cos(x2)1)=02 \left(\cos{\left(x - 2 \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=2+2πx_{2} = 2 + 2 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((x2+4x)2cos(x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx((x2+4x)2cos(x2))=\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x - x^2 - 2*cos(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((x2+4x)2cos(x2)x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx((x2+4x)2cos(x2)x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+4x)2cos(x2)=x24x2cos(x+2)\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)} = - x^{2} - 4 x - 2 \cos{\left(x + 2 \right)}
- No
(x2+4x)2cos(x2)=x2+4x+2cos(x+2)\left(- x^{2} + 4 x\right) - 2 \cos{\left(x - 2 \right)} = x^{2} + 4 x + 2 \cos{\left(x + 2 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar