Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^2+3x+2)/2
-
(x^2+3x+1)/(x^2+1)
-
(x+2)^3-1
-
((x+1)^3)/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- x/(x^ dos -5x+ seis)
- x dividir por (x al cuadrado menos 5x más 6)
- x dividir por (x en el grado dos menos 5x más seis)
- x/(x2-5x+6)
- x/x2-5x+6
- x/(x²-5x+6)
- x/(x en el grado 2-5x+6)
- x/x^2-5x+6
- x dividir por (x^2-5x+6)
-
Expresiones semejantes
- x/(x^2-5x-6)
- x/(x^2+5x+6)
Gráfico de la función y = x/(x^2-5x+6)
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = ------------
2
x - 5*x + 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}$$
f = x/(x^2 - 5*x + 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(5 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{6}$$
$$x_{2} = \sqrt{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{6}, \sqrt{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{6}\right] \cup \left[\sqrt{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(5 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{6}$$
$$x_{2} = \sqrt{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -\/ 6
(-\/ 6, ------------)
___
12 + 5*\/ 6 ___
___ \/ 6
(\/ 6, ------------)
___
12 - 5*\/ 6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{6}, \sqrt{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{6}\right] \cup \left[\sqrt{6}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 5*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = - \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = - \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar