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Trazado el gráfico de la función/ x^3-2x+1

Gráfico de la función y = x^3-2x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3          
f(x) = x  - 2*x + 1
f(x)=(x3−2x)+1f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 2 x\right) + 1 
f = x^3 - 2*x + 1
Gráfico de la función
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−2x)+1=0\left(x^{3} - 2 x\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=−12+52x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=−52−12x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.618033988749895x_{1} = 0.618033988749895
x2=1x_{2} = 1
x3=−1.61803398874989x_{3} = -1.61803398874989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 2*x + 1.
(03−0)+1\left(0^{3} - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−2=03 x^{2} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___           ___ 
 -\/ 6        4*\/ 6  
(-------, 1 + -------)
    3            9    

   ___          ___ 
 \/ 6       4*\/ 6  
(-----, 1 - -------)
   3           9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=63x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−63]∪[63,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−63,63]\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x=06 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−2x)+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 2 x\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−2x)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 2 x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 2*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−2x)+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2 x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−2x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2 x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−2x)+1=−x3+2x+1\left(x^{3} - 2 x\right) + 1 = - x^{3} + 2 x + 1
- No
(x3−2x)+1=x3−2x−1\left(x^{3} - 2 x\right) + 1 = x^{3} - 2 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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