Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2x+3)e^x

Gráfico de la función y = (2x+3)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  x
f(x) = (2*x + 3)*E
f(x)=ex(2x+3)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(2 x + 3\right) 
f = E^x*(2*x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(2x+3)=0e^{x} \left(2 x + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=−43.6123762991977x_{1} = -43.6123762991977
x2=−41.6708891458931x_{2} = -41.6708891458931
x3=−111.088484144567x_{3} = -111.088484144567
x4=−79.1956196859299x_{4} = -79.1956196859299
x5=−63.3026575738261x_{5} = -63.3026575738261
x6=−71.2414769975598x_{6} = -71.2414769975598
x7=−105.102791727262x_{7} = -105.102791727262
x8=−67.2697043196052x_{8} = -67.2697043196052
x9=−57.3639646204873x_{9} = -57.3639646204873
x10=−37.8229288275996x_{10} = -37.8229288275996
x11=−91.1449127706279x_{11} = -91.1449127706279
x12=−65.2855182170941x_{12} = -65.2855182170941
x13=−83.1767341702885x_{13} = -83.1767341702885
x14=−49.4800392416988x_{14} = -49.4800392416988
x15=−77.2059747912483x_{15} = -77.2059747912483
x16=−35.9247935427181x_{16} = -35.9247935427181
x17=−75.2170197119183x_{17} = -75.2170197119183
x18=−61.3212986069636x_{18} = -61.3212986069636
x19=−115.079894756105x_{19} = -115.079894756105
x20=−1.5x_{20} = -1.5
x21=−117.075851346739x_{21} = -117.075851346739
x22=−95.1313807202371x_{22} = -95.1313807202371
x23=−39.7399625869959x_{23} = -39.7399625869959
x24=−69.2550664455487x_{24} = -69.2550664455487
x25=−101.113433261661x_{25} = -101.113433261661
x26=−93.1379739650819x_{26} = -93.1379739650819
x27=−59.3416506828903x_{27} = -59.3416506828903
x28=−89.1522251748516x_{28} = -89.1522251748516
x29=−119.071962609073x_{29} = -119.071962609073
x30=−103.107992168746x_{30} = -103.107992168746
x31=−107.097816266601x_{31} = -107.097816266601
x32=−87.1599423498266x_{32} = -87.1599423498266
x33=−97.1251077464282x_{33} = -97.1251077464282
x34=−51.4460658230158x_{34} = -51.4460658230158
x35=−121.068219813556x_{35} = -121.068219813556
x36=−85.1680990547384x_{36} = -85.1680990547384
x37=−32.2228906543545x_{37} = -32.2228906543545
x38=−45.5621054272464x_{38} = -45.5621054272464
x39=−109.093051451962x_{39} = -109.093051451962
x40=−81.185891332178x_{40} = -81.185891332178
x41=−1.49999999999997x_{41} = -1.49999999999997
x42=−73.2288263375827x_{42} = -73.2288263375827
x43=−34.0535275406058x_{43} = -34.0535275406058
x44=−53.4157581982351x_{44} = -53.4157581982351
x45=−99.1191321723437x_{45} = -99.1191321723437
x46=−47.5184058632164x_{46} = -47.5184058632164
x47=−113.084102279126x_{47} = -113.084102279126
x48=−55.3885436636418x_{48} = -55.3885436636418
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 3)*E^x.
e0(0⋅2+3)e^{0} \left(0 \cdot 2 + 3\right)
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x+3)ex+2ex=0\left(2 x + 3\right) e^{x} + 2 e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
           -5/2 
(-5/2, -2*e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−52,∞)\left[- \frac{5}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−52]\left(-\infty, - \frac{5}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2x+7)ex=0\left(2 x + 7\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−72x_{1} = - \frac{7}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−72,∞)\left[- \frac{7}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−72]\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(2x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(2 x + 3\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(2x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(2 x + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 3)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+3)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2x+3)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(2x+3)=(3−2x)e−xe^{x} \left(2 x + 3\right) = \left(3 - 2 x\right) e^{- x}
- No
ex(2x+3)=−(3−2x)e−xe^{x} \left(2 x + 3\right) = - \left(3 - 2 x\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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