Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (cuatro *x^ dos - ocho *x)/(x+ ocho)
- (4 multiplicar por x al cuadrado menos 8 multiplicar por x) dividir por (x más 8)
- (cuatro multiplicar por x en el grado dos menos ocho multiplicar por x) dividir por (x más ocho)
- (4*x2-8*x)/(x+8)
- 4*x2-8*x/x+8
- (4*x²-8*x)/(x+8)
- (4*x en el grado 2-8*x)/(x+8)
- (4x^2-8x)/(x+8)
- (4x2-8x)/(x+8)
- 4x2-8x/x+8
- 4x^2-8x/x+8
- (4*x^2-8*x) dividir por (x+8)
-
Expresiones semejantes
- (4*x^2-8*x)/(x-8)
- (4*x^2+8*x)/(x+8)
Gráfico de la función y = (4*x^2-8*x)/(x+8)
Solución
Ha introducido
[src]
2
4*x - 8*x
f(x) = ----------
x + 8
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8}$$
f = (4*x^2 - 8*x)/(x + 8)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -8$$
$$x_{1} = -8$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x - 8}{x + 8} - \frac{4 x^{2} - 8 x}{\left(x + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 + 4 \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{5} - 8$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8 + 4 \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{5} - 8$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{5} - 8\right] \cup \left[-8 + 4 \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{5} - 8, -8 + 4 \sqrt{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x - 8}{x + 8} - \frac{4 x^{2} - 8 x}{\left(x + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 + 4 \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{5} - 8$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
___ | ___ / ___\ |
___ \/ 5 *\64 - 32*\/ 5 + 4*\-8 + 4*\/ 5 / /
(-8 + 4*\/ 5, -----------------------------------------)
20 / 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 5 *\64 + 4*\-8 - 4*\/ 5 / + 32*\/ 5 /
(-8 - 4*\/ 5, -------------------------------------------)
20 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8 + 4 \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{5} - 8$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{5} - 8\right] \cup \left[-8 + 4 \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{5} - 8, -8 + 4 \sqrt{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 8\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 8} + 1\right)}{x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 8\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 8} + 1\right)}{x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -8$$
$$x_{1} = -8$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 - 8*x)/(x + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} - 8 x}{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = \frac{4 x^{2} + 8 x}{8 - x}$$
- No
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = - \frac{4 x^{2} + 8 x}{8 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = \frac{4 x^{2} + 8 x}{8 - x}$$
- No
$$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x + 8} = - \frac{4 x^{2} + 8 x}{8 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico