Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1-2/x)^x

Gráfico de la función y = (1-2/x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x
       /    2\ 
f(x) = |1 - -| 
       \    x/
f(x)=(1−2x)xf{\left(x \right)} = \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} 
f = (1 - 2/x)^x
Gráfico de la función
1.0000000.9997500.9997750.9998000.9998250.9998500.9998750.9999000.9999250.9999500.999975-1.00-0.99
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−2x)x=0\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - 2/x)^x.
(1−20)0\left(1 - \frac{2}{0}\right)^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−2x)x(log⁡(1−2x)+2x(1−2x))=0\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 - \frac{2}{x} \right)} + \frac{2}{x \left(1 - \frac{2}{x}\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=484437.719414615x_{1} = 484437.719414615
x2=−476131.220430617x_{2} = -476131.220430617
x3=474326.937373878x_{3} = 474326.937373878
x4=−486242.026817917x_{4} = -486242.026817917
x5=504659.313187442x_{5} = 504659.313187442
x6=−496352.841833337x_{6} = -496352.841833337
x7=−466020.423218813x_{7} = -466020.423218813
x8=−506463.664972183x_{8} = -506463.664972183
x9=494548.511559698x_{9} = 494548.511559698
x10=464216.166114726x_{10} = 464216.166114726
Signos de extremos en los puntos:
(484437.7194146149, 0.135334724507279)

(-476131.2204306171, 0.13533585171927)

(474326.93737387826, 0.135334712597433)

(-486242.0268179174, 0.135335839890364)

(504659.31318744196, 0.135334746891893)

(-496352.8418333366, 0.135335828550714)

(-466020.42321881297, 0.135335864050836)

(-506463.66497218254, 0.135335817667873)

(494548.5115596982, 0.135334735928081)

(464216.16611472605, 0.135334700164742)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−2x)x((log⁡(1−2x)+2x(1−2x))2−4x3(1−2x)2)=0\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{2}{x} \right)} + \frac{2}{x \left(1 - \frac{2}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{4}{x^{3} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−28047.8748678385x_{1} = -28047.8748678385
x2=26202.3030791509x_{2} = 26202.3030791509
x3=−15335.0544619176x_{3} = -15335.0544619176
x4=28744.9416292446x_{4} = 28744.9416292446
x5=39763.3070927537x_{5} = 39763.3070927537
x6=16879.7766778288x_{6} = 16879.7766778288
x7=−24657.6700041004x_{7} = -24657.6700041004
x8=−41609.0301709502x_{8} = -41609.0301709502
x9=−33133.2606717829x_{9} = -33133.2606717829
x10=16032.3438258624x_{10} = 16032.3438258624
x11=42306.0440522487x_{11} = 42306.0440522487
x12=−21267.5290985506x_{12} = -21267.5290985506
x13=24507.231778789x_{13} = 24507.231778789
x14=27049.8454627404x_{14} = 27049.8454627404
x15=−17029.9971582155x_{15} = -17029.9971582155
x16=29592.4947329393x_{16} = 29592.4947329393
x17=−37371.130432509x_{17} = -37371.130432509
x18=−10250.6964417834x_{18} = -10250.6964417834
x19=−11098.0170267604x_{19} = -11098.0170267604
x20=25354.7650273763x_{20} = 25354.7650273763
x21=−11945.3739932274x_{21} = -11945.3739932274
x22=−35675.9783523028x_{22} = -35675.9783523028
x23=27897.3917664784x_{23} = 27897.3917664784
x24=30440.0507962647x_{24} = 30440.0507962647
x25=14337.5441230072x_{25} = 14337.5441230072
x26=−12792.7607801771x_{26} = -12792.7607801771
x27=−39066.2872604594x_{27} = -39066.2872604594
x28=9254.16759784389x_{28} = 9254.16759784389
x29=−8556.2018680036x_{29} = -8556.2018680036
x30=−7709.05532000926x_{30} = -7709.05532000926
x31=32135.1708304437x_{31} = 32135.1708304437
x32=34677.8676522882x_{32} = 34677.8676522882
x33=17727.2270391515x_{33} = 17727.2270391515
x34=36373.0081640589x_{34} = 36373.0081640589
x35=−27200.3189071284x_{35} = -27200.3189071284
x36=20269.6599260679x_{36} = 20269.6599260679
x37=−34828.4043019556x_{37} = -34828.4043019556
x38=21117.1590421027x_{38} = 21117.1590421027
x39=38068.154918276x_{39} = 38068.154918276
x40=−18724.9849967567x_{40} = -18724.9849967567
x41=8407.24295454498x_{41} = 8407.24295454498
x42=12642.8647727808x_{42} = 12642.8647727808
x43=40610.8849942835x_{43} = 40610.8849942835
x44=41458.4640035984x_{44} = 41458.4640035984
x45=37220.5808158701x_{45} = 37220.5808158701
x46=−28895.4335466869x_{46} = -28895.4335466869
x47=−22962.5898761524x_{47} = -22962.5898761524
x48=−9403.42086556255x_{48} = -9403.42086556255
x49=−17877.4861845415x_{49} = -17877.4861845415
x50=−32285.6913181674x_{50} = -32285.6913181674
x51=−25505.216174383x_{51} = -25505.216174383
x52=22812.1819451908x_{52} = 22812.1819451908
x53=33830.3000408911x_{53} = 33830.3000408911
x54=32982.73438025x_{54} = 32982.73438025
x55=−14487.6045970786x_{55} = -14487.6045970786
x56=11795.5881289985x_{56} = 11795.5881289985
x57=−20420.0073860645x_{57} = -20420.0073860645
x58=18574.6923587876x_{58} = 18574.6923587876
x59=−13640.1723109788x_{59} = -13640.1723109788
x60=−22115.0568051703x_{60} = -22115.0568051703
x61=−31438.1237759046x_{61} = -31438.1237759046
x62=−29742.9947204779x_{62} = -29742.9947204779
x63=−19572.4923999769x_{63} = -19572.4923999769
x64=15184.9316487342x_{64} = 15184.9316487342
x65=−26352.7659151789x_{65} = -26352.7659151789
x66=−42456.6129479019x_{66} = -42456.6129479019
x67=7560.49659430841x_{67} = 7560.49659430841
x68=10948.367978x_{68} = 10948.367978
x69=−33980.8317058959x_{69} = -33980.8317058959
x70=−40761.4482609046x_{70} = -40761.4482609046
x71=19422.1705580277x_{71} = 19422.1705580277
x72=−36523.5537589479x_{72} = -36523.5537589479
x73=13490.1863135667x_{73} = 13490.1863135667
x74=38915.7303736032x_{74} = 38915.7303736032
x75=−38218.7082912873x_{75} = -38218.7082912873
x76=−16182.519344677x_{76} = -16182.519344677
x77=21964.6667164023x_{77} = 21964.6667164023
x78=35525.437070147x_{78} = 35525.437070147
x79=−39913.8672713691x_{79} = -39913.8672713691
x80=31287.609569553x_{80} = 31287.609569553
x81=−30590.5581897924x_{81} = -30590.5581897924
x82=−23810.1277669063x_{82} = -23810.1277669063
x83=10101.2202761177x_{83} = 10101.2202761177
x84=23659.7038756949x_{84} = 23659.7038756949
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((1−2x)x((log⁡(1−2x)+2x(1−2x))2−4x3(1−2x)2))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{2}{x} \right)} + \frac{2}{x \left(1 - \frac{2}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{4}{x^{3} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+((1−2x)x((log⁡(1−2x)+2x(1−2x))2−4x3(1−2x)2))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{2}{x} \right)} + \frac{2}{x \left(1 - \frac{2}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{4}{x^{3} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[41458.4640035984,∞)\left[41458.4640035984, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−39913.8672713691]\left(-\infty, -39913.8672713691\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−2x)x=e−2\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{-2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−2y = e^{-2}
lim⁡x→∞(1−2x)x=e−2\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{-2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−2y = e^{-2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - 2/x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−2x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((1−2x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−2x)x=(1+2x)−x\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{- x}
- No
(1−2x)x=−(1+2x)−x\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x} = - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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