Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
x^-6
-
x*(-1-log(x))
-
-x^2+4*x
-
Expresiones idénticas
- y=(x^(seis)-4x^(tres))/((x^(tres)- uno)^(dos))
- y es igual a (x en el grado (6) menos 4x en el grado (3)) dividir por ((x en el grado (3) menos 1) en el grado (2))
- y es igual a (x en el grado (seis) menos 4x en el grado (tres)) dividir por ((x en el grado (tres) menos uno) en el grado (dos))
- y=(x(6)-4x(3))/((x(3)-1)(2))
- y=x6-4x3/x3-12
- y=x^6-4x^3/x^3-1^2
- y=(x^(6)-4x^(3)) dividir por ((x^(3)-1)^(2))
-
Expresiones semejantes
- y=(x^(6)-4x^(3))/((x^(3)+1)^(2))
- y=(x^(6)+4x^(3))/((x^(3)-1)^(2))
Gráfico de la función y = y=(x^(6)-4x^(3))/((x^(3)-1)^(2))
Solución
Ha introducido
[src]
6 3
x - 4*x
f(x) = ---------
2
/ 3 \
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$$
f = (x^6 - 4*x^3)/(x^3 - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5874010519682$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5874010519682$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 x^{2} \left(x^{6} - 4 x^{3}\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{6 x^{5} - 12 x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 x^{2} \left(x^{6} - 4 x^{3}\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{6 x^{5} - 12 x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3 ___ (-\/ 2, 4/3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.65452823998305$$
$$x_{3} = -0.604401892838194$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.65452823998305\right] \cup \left[-0.604401892838194, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.604401892838194\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.65452823998305$$
$$x_{3} = -0.604401892838194$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(x^{3} - 4\right) \left(\frac{9 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{x^{3} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 1} + 5 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.65452823998305\right] \cup \left[-0.604401892838194, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.604401892838194\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^6 - 4*x^3)/(x^3 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{x \left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{x \left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{x \left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{x \left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = \frac{x^{6} + 4 x^{3}}{\left(- x^{3} - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{6} + 4 x^{3}}{\left(- x^{3} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = \frac{x^{6} + 4 x^{3}}{\left(- x^{3} - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{6} - 4 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{6} + 4 x^{3}}{\left(- x^{3} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico