Sr Examen

Gráfico de la función y = |x^2-x-2|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       | 2        |
f(x) = |x  - x - 2|
f(x)=(x2x)2f{\left(x \right)} = \left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right|
f = |x^2 - x - 2|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2x)2=0\left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x^2 - x - 2|.
2+(020)\left|{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}\right|
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((2x1)2δ(x2+x+2)sign(x2+x+2))=02 \left(\left(2 x - 1\right)^{2} \delta\left(- x^{2} + x + 2\right) - \operatorname{sign}{\left(- x^{2} + x + 2 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x2x)2=\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(x2x)2=\lim_{x \to \infty} \left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x^2 - x - 2|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((x2x)2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx((x2x)2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2x)2=x2+x2\left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right| = \left|{x^{2} + x - 2}\right|
- No
(x2x)2=x2+x2\left|{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right| = - \left|{x^{2} + x - 2}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar