Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x^ cuatro -5x+ cuatro)/((x- dos)(x+ uno))
- (x en el grado 4 menos 5x más 4) dividir por ((x menos 2)(x más 1))
- (x en el grado cuatro menos 5x más cuatro) dividir por ((x menos dos)(x más uno))
- (x4-5x+4)/((x-2)(x+1))
- x4-5x+4/x-2x+1
- (x⁴-5x+4)/((x-2)(x+1))
- x^4-5x+4/x-2x+1
- (x^4-5x+4) dividir por ((x-2)(x+1))
-
Expresiones semejantes
- (x^4+5x+4)/((x-2)(x+1))
- (x^4-5x+4)/((x+2)(x+1))
- (x^4-5x+4)/((x-2)(x-1))
- (x^4-5x-4)/((x-2)(x+1))
Gráfico de la función y = (x^4-5x+4)/((x-2)(x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
4
x - 5*x + 4
f(x) = ---------------
(x - 2)*(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}$$
f = (x^4 - 5*x + 4)/(((x - 2)*(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.15091108433594$$
$$x_{2} = 0.999999999999352$$
$$x_{3} = 0.999999999999941$$
$$x_{4} = 0.999999999999964$$
$$x_{5} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.15091108433594$$
$$x_{2} = 0.999999999999352$$
$$x_{3} = 0.999999999999941$$
$$x_{4} = 0.999999999999964$$
$$x_{5} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(4 x^{3} - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.01485007989282$$
$$x_{2} = 1.07893182789708$$
$$x_{3} = 2.70758485159695$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.01485007989282$$
$$x_{2} = 2.70758485159695$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1.07893182789708$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2.01485007989282, 1.07893182789708\right] \cup \left[2.70758485159695, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.01485007989282\right] \cup \left[1.07893182789708, 2.70758485159695\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(4 x^{3} - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.01485007989282$$
$$x_{2} = 1.07893182789708$$
$$x_{3} = 2.70758485159695$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2.01485007989282, 7.49907714830033)
(1.07893182789708, 0.020651646648324)
(2.70758485159695, 16.8504029370507)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.01485007989282$$
$$x_{2} = 2.70758485159695$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1.07893182789708$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2.01485007989282, 1.07893182789708\right] \cup \left[2.70758485159695, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.01485007989282\right] \cup \left[1.07893182789708, 2.70758485159695\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 x^{2} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(4 x^{3} - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(x^{4} - 5 x + 4\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 x^{2} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(4 x^{3} - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(x^{4} - 5 x + 4\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^4 - 5*x + 4)/(((x - 2)*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = - \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = - \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar