Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^4-5x+4)/((x-2)(x+1))

Gráfico de la función y = (x^4-5x+4)/((x-2)(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4           
         x  - 5*x + 4 
f(x) = ---------------
       (x - 2)*(x + 1)
f(x)=(x4−5x)+4(x−2)(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} 
f = (x^4 - 5*x + 4)/(((x - 2)*(x + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−5x)+4(x−2)(x+1)=0\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=−13−2911554+1473183+11554+1473183x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{115}{54} + \frac{\sqrt{1473}}{18}}
Solución numérica
x1=1.15091108433594x_{1} = 1.15091108433594
x2=0.999999999999352x_{2} = 0.999999999999352
x3=0.999999999999941x_{3} = 0.999999999999941
x4=0.999999999999964x_{4} = 0.999999999999964
x5=1x_{5} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^4 - 5*x + 4)/(((x - 2)*(x + 1))).
(04−0)+4−2\frac{\left(0^{4} - 0\right) + 4}{-2}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−2x)((x4−5x)+4)(x−2)2(x+1)2+1(x−2)(x+1)(4x3−5)=0\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(4 x^{3} - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.01485007989282x_{1} = -2.01485007989282
x2=1.07893182789708x_{2} = 1.07893182789708
x3=2.70758485159695x_{3} = 2.70758485159695
Signos de extremos en los puntos:
(-2.01485007989282, 7.49907714830033)

(1.07893182789708, 0.020651646648324)

(2.70758485159695, 16.8504029370507)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2.01485007989282x_{1} = -2.01485007989282
x2=2.70758485159695x_{2} = 2.70758485159695
Puntos máximos de la función:
x2=1.07893182789708x_{2} = 1.07893182789708
Decrece en los intervalos
[−2.01485007989282,1.07893182789708]∪[2.70758485159695,∞)\left[-2.01485007989282, 1.07893182789708\right] \cup \left[2.70758485159695, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2.01485007989282]∪[1.07893182789708,2.70758485159695]\left(-\infty, -2.01485007989282\right] \cup \left[1.07893182789708, 2.70758485159695\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x2−2(2x−1)(4x3−5)(x−2)(x+1)+(x4−5x+4)((2x−1)(1x+1+1x−2)−2+2x−1x+1+2x−1x−2)(x−2)(x+1)(x−2)(x+1)=0\frac{12 x^{2} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(4 x^{3} - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(x^{4} - 5 x + 4\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−5x)+4(x−2)(x+1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−5x)+4(x−2)(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^4 - 5*x + 4)/(((x - 2)*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−2)(x+1)((x4−5x)+4)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(1(x−2)(x+1)((x4−5x)+4)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\left(x^{4} - 5 x\right) + 4\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−5x)+4(x−2)(x+1)=x4+5x+4(1−x)(−x−2)\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}
- No
(x4−5x)+4(x−2)(x+1)=−x4+5x+4(1−x)(−x−2)\frac{\left(x^{4} - 5 x\right) + 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = - \frac{x^{4} + 5 x + 4}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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