Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((-x^2+5x-6)^2-(0^2))

Gráfico de la función y = ((-x^2+5x-6)^2-(0^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2
       /   2          \ 
f(x) = \- x  + 5*x - 6/
f(x)=((−x2+5x)−6)2f{\left(x \right)} = \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} 
f = (-x^2 + 5*x - 6)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−x2+5x)−6)2=0\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^2 + 5*x - 6)^2.
(−6+(−02+0⋅5))2\left(-6 + \left(- 0^{2} + 0 \cdot 5\right)\right)^{2}
Resultado:
f(0)=36f{\left(0 \right)} = 36
Punto:
(0, 36)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(10−4x)((−x2+5x)−6)=0\left(10 - 4 x\right) \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=52x_{2} = \frac{5}{2}
x3=3x_{3} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)

(5/2, 1/16)

(3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Puntos máximos de la función:
x2=52x_{2} = \frac{5}{2}
Decrece en los intervalos
[2,52]∪[3,∞)\left[2, \frac{5}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]∪[52,3]\left(-\infty, 2\right] \cup \left[\frac{5}{2}, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x(x−5)+(2x−5)2+12)=02 \left(2 x \left(x - 5\right) + \left(2 x - 5\right)^{2} + 12\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52−36x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}
x2=36+52x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{5}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,52−36]∪[36+52,∞)\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{5}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[52−36,36+52]\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{5}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+5x)−6)2=∞\lim_{x \to -\infty} \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x2+5x)−6)2=∞\lim_{x \to \infty} \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2 + 5*x - 6)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−x2+5x)−6)2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((−x2+5x)−6)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−x2+5x)−6)2=(−x2−5x−6)2\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} = \left(- x^{2} - 5 x - 6\right)^{2}
- No
((−x2+5x)−6)2=−(−x2−5x−6)2\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)^{2} = - \left(- x^{2} - 5 x - 6\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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