Sr Examen
Gráfico de la función y = x^3-6x^2+24x-15
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - 6*x + 24*x - 15
$$f{\left(x \right)} = \left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15$$
f = 24*x + x^3 - 6*x^2 - 15
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{459}{2} + \frac{27 \sqrt{545}}{2}}}{3} + \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{459}{2} + \frac{27 \sqrt{545}}{2}}} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.747192783452582$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{459}{2} + \frac{27 \sqrt{545}}{2}}}{3} + \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{459}{2} + \frac{27 \sqrt{545}}{2}}} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.747192783452582$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x + 24 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 12 x + 24 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 + 24*x - 15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = - x^{3} - 6 x^{2} - 24 x - 15$$
- No
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = x^{3} + 6 x^{2} + 24 x + 15$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = - x^{3} - 6 x^{2} - 24 x - 15$$
- No
$$\left(24 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 15 = x^{3} + 6 x^{2} + 24 x + 15$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar