Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=3x^3-x
-
-x^4+x^2
-
x^6-3x^4+3x^2-5
-
x-e
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - treinta y seis)^ dos +(x^ dos + cuatro *x- doce)^ dos
- (x al cuadrado menos 36) al cuadrado más (x al cuadrado más 4 multiplicar por x menos 12) al cuadrado
- (x en el grado dos menos treinta y seis) en el grado dos más (x en el grado dos más cuatro multiplicar por x menos doce) en el grado dos
- (x2-36)2+(x2+4*x-12)2
- x2-362+x2+4*x-122
- (x²-36)²+(x²+4*x-12)²
- (x en el grado 2-36) en el grado 2+(x en el grado 2+4*x-12) en el grado 2
- (x^2-36)^2+(x^2+4x-12)^2
- (x2-36)2+(x2+4x-12)2
- x2-362+x2+4x-122
- x^2-36^2+x^2+4x-12^2
-
Expresiones semejantes
- (x^2-36)^2-(x^2+4*x-12)^2
- (x^2-36)^2+(x^2-4*x-12)^2
- (x^2+36)^2+(x^2+4*x-12)^2
- (x^2-36)^2+(x^2+4*x+12)^2
Gráfico de la función y = (x^2-36)^2+(x^2+4*x-12)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
/ 2 \ / 2 \
f(x) = \x - 36/ + \x + 4*x - 12/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}$$
f = (x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4*x - 12)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -6$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -6$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x \left(x^{2} - 36\right) + \left(4 x + 8\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6\right] \cup \left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x \left(x^{2} - 36\right) + \left(4 x + 8\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-6, 0)
2 2
/ 2\ / 2 \
____ | / ____\ | | / ____\ |
3 \/ 17 | |3 \/ 17 | | | |3 \/ 17 | ____|
(- - ------, |-36 + |- - ------| | + |-6 + |- - ------| - 2*\/ 17 | )
2 2 \ \2 2 / / \ \2 2 / / 2 2
/ 2\ / 2 \
____ | / ____\ | | / ____\ |
3 \/ 17 | |3 \/ 17 | | | |3 \/ 17 | ____|
(- + ------, |-36 + |- + ------| | + |-6 + |- + ------| + 2*\/ 17 | )
2 2 \ \2 2 / / \ \2 2 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6\right] \cup \left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} + x \left(x + 4\right) + 2 \left(x + 2\right)^{2} - 48\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{69}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{69}}{3} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{69}}{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{69}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{69}}{3} - 1, -1 + \frac{\sqrt{69}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} + x \left(x + 4\right) + 2 \left(x + 2\right)^{2} - 48\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{69}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{69}}{3} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{69}}{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{69}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{69}}{3} - 1, -1 + \frac{\sqrt{69}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4*x - 12)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = \left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(x^{2} - 4 x - 12\right)^{2}$$
- No
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = - \left(x^{2} - 36\right)^{2} - \left(x^{2} - 4 x - 12\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = \left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(x^{2} - 4 x - 12\right)^{2}$$
- No
$$\left(x^{2} - 36\right)^{2} + \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 12\right)^{2} = - \left(x^{2} - 36\right)^{2} - \left(x^{2} - 4 x - 12\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar