Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/(x+1)(x+2)

Gráfico de la función y = x/(x+1)(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x          
f(x) = -----*(x + 2)
       x + 1
f(x)=xx+1(x+2)f{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right) 
f = (x/(x + 1))*(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx+1(x+2)=0\frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x/(x + 1))*(x + 2).
2012 \frac{0}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx+1+(x+2)(−x(x+1)2+1x+1)=0\frac{x}{x + 1} + \left(x + 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−xx+1+1+(x+2)(xx+1−1)x+1)x+1=0\frac{2 \left(- \frac{x}{x + 1} + 1 + \frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx+1(x+2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xx+1(x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/(x + 1))*(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2x+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x+2x+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx+1(x+2)=−x(2−x)1−x\frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right) = - \frac{x \left(2 - x\right)}{1 - x}
- No
xx+1(x+2)=x(2−x)1−x\frac{x}{x + 1} \left(x + 2\right) = \frac{x \left(2 - x\right)}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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