Sr Examen

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-(е^(-2*(x-1)))/2*(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ -(е^(-2*(x-1)))/2*(x-1)

Gráfico de la función y = -(е^(-2*(x-1)))/2*(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         -2*(x - 1)         
       -E                   
f(x) = -------------*(x - 1)
             2
f(x)=(−1)e−2(x−1)2(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right) 
f = ((-E^(-2*(x - 1)))/2)*(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000000000020000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)e−2(x−1)2(x−1)=0\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=56.7813963486339x_{1} = 56.7813963486339
x2=80.7467581174956x_{2} = 80.7467581174956
x3=40.8322789111555x_{3} = 40.8322789111555
x4=50.7960575646516x_{4} = 50.7960575646516
x5=28.9213146551643x_{5} = 28.9213146551643
x6=66.7635580514383x_{6} = 66.7635580514383
x7=100.731495302726x_{7} = 100.731495302726
x8=98.7327211186562x_{8} = 98.7327211186562
x9=108.727075306218x_{9} = 108.727075306218
x10=68.7606886725095x_{10} = 68.7606886725095
x11=38.8423192425575x_{11} = 38.8423192425575
x12=48.8018932907923x_{12} = 48.8018932907923
x13=70.7580004944523x_{13} = 70.7580004944523
x14=32.8820886141341x_{14} = 32.8820886141341
x15=62.7699191705335x_{15} = 62.7699191705335
x16=1x_{16} = 1
x17=78.7487545895484x_{17} = 78.7487545895484
x18=23.0204168645089x_{18} = 23.0204168645089
x19=76.750866150933x_{19} = 76.750866150933
x20=110.726077101889x_{20} = 110.726077101889
x21=21.0748429547998x_{21} = 21.0748429547998
x22=0.99999999999998x_{22} = 0.99999999999998
x23=17.2664071699171x_{23} = 17.2664071699171
x24=74.7531030642314x_{24} = 74.7531030642314
x25=102.730320853278x_{25} = 102.730320853278
x26=54.7858695601634x_{26} = 54.7858695601634
x27=104.729194605611x_{27} = 104.729194605611
x28=24.9793660972884x_{28} = 24.9793660972884
x29=90.7382119783469x_{29} = 90.7382119783469
x30=34.8668630155044x_{30} = 34.8668630155044
x31=44.8154488929449x_{31} = 44.8154488929449
x32=58.7772722047327x_{32} = 58.7772722047327
x33=86.7413721608517x_{33} = 86.7413721608517
x34=46.8083248519552x_{34} = 46.8083248519552
x35=52.7907382716567x_{35} = 52.7907382716567
x36=82.744867564022x_{36} = 82.744867564022
x37=92.7367428641377x_{37} = 92.7367428641377
x38=88.7397532581931x_{38} = 88.7397532581931
x39=64.7666276312008x_{39} = 64.7666276312008
x40=94.7353409586734x_{40} = 94.7353409586734
x41=84.7430747086043x_{41} = 84.7430747086043
x42=72.7554768515962x_{42} = 72.7554768515962
x43=42.8233842784938x_{43} = 42.8233842784938
x44=30.8999794563979x_{44} = 30.8999794563979
x45=19.1509341395474x_{45} = 19.1509341395474
x46=60.7734577077894x_{46} = 60.7734577077894
x47=106.72811364994x_{47} = 106.72811364994
x48=26.9472162397279x_{48} = 26.9472162397279
x49=36.8537438173178x_{49} = 36.8537438173178
x50=96.7340017492518x_{50} = 96.7340017492518
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((-E^(-2*(x - 1)))/2)*(x - 1).
(−1)(−1)e−−22\left(-1\right) \frac{\left(-1\right) e^{- -2}}{2}
Resultado:
f(0)=e22f{\left(0 \right)} = \frac{e^{2}}{2}
Punto:
(0, exp(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−1)e−2(x−1)2+(x−1)e2−2x=0\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} + \left(x - 1\right) e^{2 - 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
        -1  
      -e    
(3/2, -----)
        4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(x−1)e2−2x+e2(1−x))=02 \left(- \left(x - 1\right) e^{2 - 2 x} + e^{2 \left(1 - x\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Convexa en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)e−2(x−1)2(x−1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−1)e−2(x−1)2(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-E^(-2*(x - 1)))/2)*(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−1)e2−2x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(x - 1\right) e^{2 - 2 x}}{2 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−(x−1)e2−2x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(x - 1\right) e^{2 - 2 x}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)e−2(x−1)2(x−1)=−(−x−1)e2x+22\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) e^{2 x + 2}}{2}
- No
(−1)e−2(x−1)2(x−1)=(−x−1)e2x+22\frac{\left(-1\right) e^{- 2 \left(x - 1\right)}}{2} \left(x - 1\right) = \frac{\left(- x - 1\right) e^{2 x + 2}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -(е^(-2*(x-1)))/2*(x-1)
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