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3cos5x-5sin4x-11
Trazado el gráfico de la función/ 3cos5x-5sin4x-11

Gráfico de la función y = 3cos5x-5sin4x-11

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*cos(5*x) - 5*sin(4*x) - 11
f(x)=(−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11f{\left(x \right)} = \left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11 
f = -5*sin(4*x) + 3*cos(5*x) - 11
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-20
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11=0\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(5*x) - 5*sin(4*x) - 11.
−11+(−5sin⁡(0⋅4)+3cos⁡(0⋅5))-11 + \left(- 5 \sin{\left(0 \cdot 4 \right)} + 3 \cos{\left(0 \cdot 5 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−8f{\left(0 \right)} = -8
Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−15sin⁡(5x)−20cos⁡(4x)=0- 15 \sin{\left(5 x \right)} - 20 \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
5(16sin⁡(4x)−15cos⁡(5x))=05 \left(16 \sin{\left(4 x \right)} - 15 \cos{\left(5 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11)=⟨−19,−3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11\right) = \left\langle -19, -3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−19,−3⟩y = \left\langle -19, -3\right\rangle
lim⁡x→∞((−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11)=⟨−19,−3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11\right) = \left\langle -19, -3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−19,−3⟩y = \left\langle -19, -3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(5*x) - 5*sin(4*x) - 11, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11=5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x)−11\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11 = 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)} - 11
- No
(−5sin⁡(4x)+3cos⁡(5x))−11=−5sin⁡(4x)−3cos⁡(5x)+11\left(- 5 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right) - 11 = - 5 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(5 x \right)} + 11
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3cos5x-5sin4x-11
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