Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=cosx y=cosx
  • y=3x^2-x^3 y=3x^2-x^3
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2

  • Expresiones idénticas

  • cuatro ^(uno /(cuatro -x^ dos))
  • 4 en el grado (1 dividir por (4 menos x al cuadrado ))
  • cuatro en el grado (uno dividir por (cuatro menos x en el grado dos))
  • 4(1/(4-x2))
  • 41/4-x2
  • 4^(1/(4-x²))
  • 4 en el grado (1/(4-x en el grado 2))
  • 4^1/4-x^2
  • 4^(1 dividir por (4-x^2))

  • Expresiones semejantes

  • 4^(1/(4+x^2))
Trazado el gráfico de la función/ 4^(1/(4-x^2))

Gráfico de la función y = 4^(1/(4-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
        ------
             2
        4 - x 
f(x) = 4
f(x)=414−x2f{\left(x \right)} = 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}} 
f = 4^(1/(4 - x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
414−x2=04^{\frac{1}{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4^(1/(4 - x^2)).
414−024^{\frac{1}{4 - 0^{2}}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = \sqrt{2}
Punto:
(0, sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2⋅414−x2xlog⁡(4)(4−x2)2=0\frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}} x \log{\left(4 \right)}}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
(0, \/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2⋅4−1x2−4(−4x2x2−4+2x2log⁡(4)(x2−4)2+1)log⁡(4)(x2−4)2=0\frac{2 \cdot 4^{- \frac{1}{x^{2} - 4}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163x_{1} = - \sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}
x2=2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163x_{2} = \sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2⋅4−1x2−4(−4x2x2−4+2x2log⁡(4)(x2−4)2+1)log⁡(4)(x2−4)2)=0\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \cdot 4^{- \frac{1}{x^{2} - 4}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→−2+(2⋅4−1x2−4(−4x2x2−4+2x2log⁡(4)(x2−4)2+1)log⁡(4)(x2−4)2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{- \frac{1}{x^{2} - 4}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2⋅4−1x2−4(−4x2x2−4+2x2log⁡(4)(x2−4)2+1)log⁡(4)(x2−4)2)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \cdot 4^{- \frac{1}{x^{2} - 4}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2⋅4−1x2−4(−4x2x2−4+2x2log⁡(4)(x2−4)2+1)log⁡(4)(x2−4)2)=0\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{- \frac{1}{x^{2} - 4}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163,2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163]\left[- \sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}, \sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163]∪[2log⁡(2)3+43+2log⁡(2)2+4log⁡(2)+163,∞)\left(-\infty, - \sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)} + 16}}{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞414−x2=1\lim_{x \to -\infty} 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞414−x2=1\lim_{x \to \infty} 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4^(1/(4 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(414−x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{\frac{1}{4 - x^{2}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(414−x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{\frac{1}{4 - x^{2}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
414−x2=414−x24^{\frac{1}{4 - x^{2}}} = 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}}
- Sí
414−x2=−414−x24^{\frac{1}{4 - x^{2}}} = - 4^{\frac{1}{4 - x^{2}}}
- No
es decir, función
es
par
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