Sr Examen

Gráfico de la función y = (x-3)/(x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x - 3
f(x) = -----
       x - 5
f(x)=x3x5f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{x - 5}
f = (x - 3)/(x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3x5=0\frac{x - 3}{x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 3)/(x - 5).
35- \frac{3}{-5}
Resultado:
f(0)=35f{\left(0 \right)} = \frac{3}{5}
Punto:
(0, 3/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x5x3(x5)2=0\frac{1}{x - 5} - \frac{x - 3}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+x3x5)(x5)2=0\frac{2 \left(-1 + \frac{x - 3}{x - 5}\right)}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=5x_{1} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x3x5)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x - 5}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
limx(x3x5)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x - 5}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)/(x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x3x(x5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(x3x(x5))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3x5=x3x5\frac{x - 3}{x - 5} = \frac{- x - 3}{- x - 5}
- No
x3x5=x3x5\frac{x - 3}{x - 5} = - \frac{- x - 3}{- x - 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar