Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- y=((x- uno)(x- dos)x)/(x^ dos +8x- nueve)
- y es igual a ((x menos 1)(x menos 2)x) dividir por (x al cuadrado más 8x menos 9)
- y es igual a ((x menos uno)(x menos dos)x) dividir por (x en el grado dos más 8x menos nueve)
- y=((x-1)(x-2)x)/(x2+8x-9)
- y=x-1x-2x/x2+8x-9
- y=((x-1)(x-2)x)/(x²+8x-9)
- y=((x-1)(x-2)x)/(x en el grado 2+8x-9)
- y=x-1x-2x/x^2+8x-9
- y=((x-1)(x-2)x) dividir por (x^2+8x-9)
-
Expresiones semejantes
- y=((x-1)(x-2)x)/(x^2-8x-9)
- y=((x-1)(x+2)x)/(x^2+8x-9)
- y=((x+1)(x-2)x)/(x^2+8x-9)
- y=((x-1)(x-2)x)/(x^2+8x+9)
Gráfico de la función y = y=((x-1)(x-2)x)/(x^2+8x-9)
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 1)*(x - 2)*x
f(x) = -----------------
2
x + 8*x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}$$
f = (x*((x - 2)*(x - 1)))/(x^2 + 8*x - 9)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(- 2 x - 8\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 8 x\right) - 9\right)^{2}} + \frac{x \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9 + 3 \sqrt{11}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{11} - 9$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -9 + 3 \sqrt{11}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{11} - 9$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{11} - 9\right] \cup \left[-9 + 3 \sqrt{11}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{11} - 9, -9 + 3 \sqrt{11}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(- 2 x - 8\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 8 x\right) - 9\right)^{2}} + \frac{x \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9 + 3 \sqrt{11}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{11} - 9$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ____\ / ____\ / ____\
____ \-11 + 3*\/ 11 /*\-10 + 3*\/ 11 /*\-9 + 3*\/ 11 /
(-9 + 3*\/ 11, -------------------------------------------------)
2
/ ____\ ____
-81 + \-9 + 3*\/ 11 / + 24*\/ 11 / ____\ / ____\ / ____\
____ \-11 - 3*\/ 11 /*\-10 - 3*\/ 11 /*\-9 - 3*\/ 11 /
(-9 - 3*\/ 11, -------------------------------------------------)
2
/ ____\ ____
-81 + \-9 - 3*\/ 11 / - 24*\/ 11 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -9 + 3 \sqrt{11}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{11} - 9$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{11} - 9\right] \cup \left[-9 + 3 \sqrt{11}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{11} - 9, -9 + 3 \sqrt{11}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 4\right)^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} - 1\right)}{x^{2} + 8 x - 9} + 3 x - \frac{2 \left(x + 4\right) \left(x \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 3\right)}{x^{2} + 8 x - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 4\right)^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} - 1\right)}{x^{2} + 8 x - 9} + 3 x - \frac{2 \left(x + 4\right) \left(x \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 3\right)}{x^{2} + 8 x - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*x)/(x^2 + 8*x - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = - \frac{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- No
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = \frac{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = - \frac{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- No
$$\frac{x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 8 x\right) - 9} = \frac{x \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico