Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 3/(x^2+1) 3/(x^2+1)
  • (1/3)^x (1/3)^x
  • x/(x^3+2) x/(x^3+2)
  • y=2x-3 y=2x-3
  • Límite de la función:
  • (1+x^3)/(1+x^2) (1+x^3)/(1+x^2)

  • Expresiones idénticas

  • (uno +x^ tres)/(uno +x^ dos)
  • (1 más x al cubo ) dividir por (1 más x al cuadrado )
  • (uno más x en el grado tres) dividir por (uno más x en el grado dos)
  • (1+x3)/(1+x2)
  • 1+x3/1+x2
  • (1+x³)/(1+x²)
  • (1+x en el grado 3)/(1+x en el grado 2)
  • 1+x^3/1+x^2
  • (1+x^3) dividir por (1+x^2)

  • Expresiones semejantes

  • (1+x^3)/(1-x^2)
  • (1-x^3)/(1+x^2)
Trazado el gráfico de la función/ (1+x^3)/(1+x^2)

Gráfico de la función y = (1+x^3)/(1+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3
       1 + x 
f(x) = ------
            2
       1 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}$$ 
f = (x^3 + 1)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + x^3)/(1 + x^2).
$$\frac{0^{3} + 1}{0^{2} + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

                                                                       3 
                                      /   ___________                 \  
                                      |3 /       ___          1       |  
                                  1 + |\/  1 + \/ 2   - --------------|  
                                      |                    ___________|  
    ___________                       |                 3 /       ___ |  
 3 /       ___          1             \                 \/  1 + \/ 2  /  
(\/  1 + \/ 2   - --------------, --------------------------------------)
                     ___________                                       2 
                  3 /       ___       /   ___________                 \  
                  \/  1 + \/ 2        |3 /       ___          1       |  
                                  1 + |\/  1 + \/ 2   - --------------|  
                                      |                    ___________|  
                                      |                 3 /       ___ |  
                                      \                 \/  1 + \/ 2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[- \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} + 1} + 3 x + \frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3} + 2$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2 - \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x^3)/(1 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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