Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x - 2 - \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_____________ / _____________ \ _____________
/ ____ | / ____ | / ____
1 / 29 \/ 93 1 5 |1 / 29 \/ 93 1 | / 29 \/ 93 2 2
(- + 3 / -- + ------ + --------------------, - - + |- + 3 / -- + ------ + --------------------| - 2*3 / -- + ------ + --------------------------------------------- - --------------------)
3 \/ 54 18 _____________ 3 |3 \/ 54 18 _____________| \/ 54 18 _____________ _____________
/ ____ | / ____ | / ____ / ____
/ 29 \/ 93 | / 29 \/ 93 | 1 / 29 \/ 93 1 / 29 \/ 93
9*3 / -- + ------ | 9*3 / -- + ------ | - + 3 / -- + ------ + -------------------- 9*3 / -- + ------
\/ 54 18 \ \/ 54 18 / 3 \/ 54 18 _____________ \/ 54 18
/ ____
/ 29 \/ 93
9*3 / -- + ------
\/ 54 18
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}\right]$$