Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - dos x)+2/x- uno
- (x al cuadrado menos 2x) más 2 dividir por x menos 1
- (x en el grado dos menos dos x) más 2 dividir por x menos uno
- (x2-2x)+2/x-1
- x2-2x+2/x-1
- (x²-2x)+2/x-1
- (x en el grado 2-2x)+2/x-1
- x^2-2x+2/x-1
- (x^2-2x)+2 dividir por x-1
-
Expresiones semejantes
- (x^2+2x)+2/x-1
- (x^2-2x)-2/x-1
- (x^2-2x)+2/x+1
Gráfico de la función y = (x^2-2x)+2/x-1
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
f(x) = x - 2*x + - - 1
x
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1$$
f = x^2 - 2*x + 2/x - 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 2 - \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 2 - \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_____________ / _____________ \ _____________
/ ____ | / ____ | / ____
1 / 29 \/ 93 1 5 |1 / 29 \/ 93 1 | / 29 \/ 93 2 2
(- + 3 / -- + ------ + --------------------, - - + |- + 3 / -- + ------ + --------------------| - 2*3 / -- + ------ + --------------------------------------------- - --------------------)
3 \/ 54 18 _____________ 3 |3 \/ 54 18 _____________| \/ 54 18 _____________ _____________
/ ____ | / ____ | / ____ / ____
/ 29 \/ 93 | / 29 \/ 93 | 1 / 29 \/ 93 1 / 29 \/ 93
9*3 / -- + ------ | 9*3 / -- + ------ | - + 3 / -- + ------ + -------------------- 9*3 / -- + ------
\/ 54 18 \ \/ 54 18 / 3 \/ 54 18 _____________ \/ 54 18
/ ____
/ 29 \/ 93
9*3 / -- + ------
\/ 54 18 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{93}}{18} + \frac{29}{54}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 2*x + 2/x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = x^{2} + 2 x - 1 - \frac{2}{x}$$
- No
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = - x^{2} - 2 x + 1 + \frac{2}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = x^{2} + 2 x - 1 - \frac{2}{x}$$
- No
$$\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{2}{x}\right) - 1 = - x^{2} - 2 x + 1 + \frac{2}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico