Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$8 x^{3} + 9 x^{2} + 16 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}{3} - \frac{3}{8} - \frac{27}{64 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 3
____________________ / ____________________\ / ____________________\ ____________________
/ _____ | / _____ | | / _____ | / _____
/ 14553 27*\/ 283 | / 14553 27*\/ 283 | | / 14553 27*\/ 283 | / 14553 27*\/ 283
3 / ----- + ---------- | 3 / ----- + ---------- | | 3 / ----- + ---------- | 16*3 / ----- + ----------
3 27 \/ 512 16 | 3 27 \/ 512 16 | | 3 27 \/ 512 16 | 27 \/ 512 16
(- - - ---------------------------- - -------------------------, 18 + 2*|- - - ---------------------------- - -------------------------| + 3*|- - - ---------------------------- - -------------------------| - --------------------------- - ----------------------------)
8 ____________________ 3 | 8 ____________________ 3 | | 8 ____________________ 3 | ____________________ 3
/ _____ | / _____ | | / _____ | / _____
/ 14553 27*\/ 283 | / 14553 27*\/ 283 | | / 14553 27*\/ 283 | / 14553 27*\/ 283
64*3 / ----- + ---------- | 64*3 / ----- + ---------- | | 64*3 / ----- + ---------- | 4*3 / ----- + ----------
\/ 512 16 \ \/ 512 16 / \ \/ 512 16 / \/ 512 16
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}{3} - \frac{3}{8} - \frac{27}{64 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}{3} - \frac{3}{8} - \frac{27}{64 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}{3} - \frac{3}{8} - \frac{27}{64 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{283}}{16} + \frac{14553}{512}}}\right]$$