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y=x^4-5x^2+4

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^6 y=x^6
  • y=x^5 y=x^5
  • y=x+4 y=x+4
  • y=x*4 y=x*4

  • Expresiones idénticas

  • y=x^ cuatro -5x^ dos + cuatro
  • y es igual a x en el grado 4 menos 5x al cuadrado más 4
  • y es igual a x en el grado cuatro menos 5x en el grado dos más cuatro
  • y=x4-5x2+4
  • y=x⁴-5x²+4
  • y=x en el grado 4-5x en el grado 2+4

  • Expresiones semejantes

  • y=x^4+5x^2+4
  • y=x^4-5x^2-4
Trazado el gráfico de la función/ y=x^4-5x^2+4

Gráfico de la función y = y=x^4-5x^2+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  - 5*x  + 4
f(x)=(x4−5x2)+4f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4 
f = x^4 - 5*x^2 + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−5x2)+4=0\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−2x_{2} = -2
x3=−1x_{3} = -1
x4=2x_{4} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 5*x^2 + 4.
(04−5⋅02)+4\left(0^{4} - 5 \cdot 0^{2}\right) + 4
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−10x=04 x^{3} - 10 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−102x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}
x3=102x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)

    ____        
 -\/ 10         
(--------, -9/4)
    2           

   ____       
 \/ 10        
(------, -9/4)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−102x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2}
x2=102x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−102,0]∪[102,∞)\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−102]∪[0,102]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(6x2−5)=02 \left(6 x^{2} - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−306x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}
x2=306x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−306]∪[306,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−306,306]\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−5x2)+4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−5x2)+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 5*x^2 + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−5x2)+4x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−5x2)+4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−5x2)+4=(x4−5x2)+4\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4 = \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4
- Sí
(x4−5x2)+4=(−x4+5x2)−4\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4 = \left(- x^{4} + 5 x^{2}\right) - 4
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^4-5x^2+4
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