Sr Examen

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-1/3x^3+4x+3
Trazado el gráfico de la función/ -1/3x^3+4x+3

Gráfico de la función y = -1/3x^3+4x+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3          
         x           
f(x) = - -- + 4*x + 3
         3
f(x)=(−x33+4x)+3f{\left(x \right)} = \left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3 
f = -x^3/3 + 4*x + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x33+4x)+3=0\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=32−212x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}
x3=32+212x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}
Solución numérica
x1=3.79128784747792x_{1} = 3.79128784747792
x2=−0.79128784747792x_{2} = -0.79128784747792
x3=−3x_{3} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3/3 + 4*x + 3.
(−033+0⋅4)+3\left(- \frac{0^{3}}{3} + 0 \cdot 4\right) + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4−x2=04 - x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -7/3)

(2, 25/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[-2, 2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x=0- 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x33+4x)+3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x33+4x)+3)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3/3 + 4*x + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x33+4x)+3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x33+4x)+3x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x33+4x)+3=x33−4x+3\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3 = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3
- No
(−x33+4x)+3=−x33+4x−3\left(- \frac{x^{3}}{3} + 4 x\right) + 3 = - \frac{x^{3}}{3} + 4 x - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -1/3x^3+4x+3
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