Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-x^2+4x-5)/(2x-4)

Gráfico de la función y = (-x^2+4x-5)/(2x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       - x  + 4*x - 5
f(x) = --------------
          2*x - 4
f(x)=(−x2+4x)−52x−4f{\left(x \right)} = \frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4} 
f = (-x^2 + 4*x - 5)/(2*x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2+4x)−52x−4=0\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^2 + 4*x - 5)/(2*x - 4).
−5+(−02+0⋅4)−4+0⋅2\frac{-5 + \left(- 0^{2} + 0 \cdot 4\right)}{-4 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=54f{\left(0 \right)} = \frac{5}{4}
Punto:
(0, 5/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4−2x2x−4−2((−x2+4x)−5)(2x−4)2=0\frac{4 - 2 x}{2 x - 4} - \frac{2 \left(\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5\right)}{\left(2 x - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)

(3, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Decrece en los intervalos
[1,3]\left[1, 3\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1]∪[3,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−x2−4x+5(x−2)2x−2=0\frac{1 - \frac{x^{2} - 4 x + 5}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+4x)−52x−4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x2+4x)−52x−4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2 + 4*x - 5)/(2*x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+4x)−5x(2x−4))=−12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(2 x - 4\right)}\right) = - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x2y = - \frac{x}{2}
lim⁡x→∞((−x2+4x)−5x(2x−4))=−12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(2 x - 4\right)}\right) = - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x2y = - \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2+4x)−52x−4=−x2−4x−5−2x−4\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4} = \frac{- x^{2} - 4 x - 5}{- 2 x - 4}
- No
(−x2+4x)−52x−4=−−x2−4x−5−2x−4\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5}{2 x - 4} = - \frac{- x^{2} - 4 x - 5}{- 2 x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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