Gráfico de la función y = |x+2|−|2x+3|−|3x+4|

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f(x) = |x + 2| - |2*x + 3| - |3*x + 4|

f{\left(x \right)} = \left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right|

f = |x + 2| - |2*x + 3| - |3*x + 4|

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right| = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = - \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{5}{4}

Solución numérica

x_{1} = -1.25

x_{2} = -1.5

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 2| - |2*x + 3| - |3*x + 4|.

- \left|{0 \cdot 3 + 4}\right| + \left(- \left|{0 \cdot 2 + 3}\right| + \left|{2}\right|\right)

Resultado:

f{\left(0 \right)} = -5

Punto:

(0, -5)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)} - 2 \operatorname{sign}{\left(2 x + 3 \right)} - 3 \operatorname{sign}{\left(3 x + 4 \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

2 \left(\delta\left(x + 2\right) - 4 \delta\left(2 x + 3\right) - 9 \delta\left(3 x + 4\right)\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right|\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right|\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 2| - |2*x + 3| - |3*x + 4|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right|}{x}\right) = 4

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = 4 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right|}{x}\right) = -4

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = - 4 x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right| = \left|{x - 2}\right| - \left|{2 x - 3}\right| - \left|{3 x - 4}\right|

- No

\left(\left|{x + 2}\right| - \left|{2 x + 3}\right|\right) - \left|{3 x + 4}\right| = - \left|{x - 2}\right| + \left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x - 4}\right|

- No
es decir, función
no es
par ni impar