Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- (x+ tres)/(x^ dos + nueve)
- (x más 3) dividir por (x al cuadrado más 9)
- (x más tres) dividir por (x en el grado dos más nueve)
- (x+3)/(x2+9)
- x+3/x2+9
- (x+3)/(x²+9)
- (x+3)/(x en el grado 2+9)
- x+3/x^2+9
- (x+3) dividir por (x^2+9)
-
Expresiones semejantes
- (x+3)/(x^2-9)
- (x-3)/(x^2+9)
Gráfico de la función y = (x+3)/(x^2+9)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 3
f(x) = ------
2
x + 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 3}{x^{2} + 9}$$
f = (x + 3)/(x^2 + 9)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{2} - 3, -3 + 3 \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 3\right] \cup \left[-3 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ 3*\/ 2
(-3 + 3*\/ 2, -------------------)
2
/ ___\
9 + \-3 + 3*\/ 2 / ___
___ -3*\/ 2
(-3 - 3*\/ 2, -------------------)
2
/ ___\
9 + \-3 - 3*\/ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{2} - 3, -3 + 3 \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 3\right] \cup \left[-3 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6 - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -6 + 3 \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-6 - 3 \sqrt{3}, -6 + 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -6 - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[-6 + 3 \sqrt{3}, 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6 - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -6 + 3 \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-6 - 3 \sqrt{3}, -6 + 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -6 - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[-6 + 3 \sqrt{3}, 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 3)/(x^2 + 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = \frac{3 - x}{x^{2} + 9}$$
- No
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = - \frac{3 - x}{x^{2} + 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = \frac{3 - x}{x^{2} + 9}$$
- No
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 9} = - \frac{3 - x}{x^{2} + 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar