Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ 3*\/ 2
(-3 + 3*\/ 2, -------------------)
2
/ ___\
9 + \-3 + 3*\/ 2 /
___
___ -3*\/ 2
(-3 - 3*\/ 2, -------------------)
2
/ ___\
9 + \-3 - 3*\/ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{2} - 3, -3 + 3 \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 3\right] \cup \left[-3 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$