Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
-x^4+8*x^2+2
-
Expresiones idénticas
- -(8x+ sesenta y cuatro)/((x+ siete)(x- uno))
- menos (8x más 64) dividir por ((x más 7)(x menos 1))
- menos (8x más sesenta y cuatro) dividir por ((x más siete)(x menos uno))
- -8x+64/x+7x-1
- -(8x+64) dividir por ((x+7)(x-1))
-
Expresiones semejantes
- -(8x+64)/((x+7)(x+1))
- -(8x-64)/((x+7)(x-1))
- -(8x+64)/((x-7)(x-1))
- (8x+64)/((x+7)(x-1))
Gráfico de la función y = -(8x+64)/((x+7)(x-1))
Solución
Ha introducido
[src]
-8*x - 64
f(x) = ---------------
(x + 7)*(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)}$$
f = (-8*x - 64)/(((x - 1)*(x + 7)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 8 x - 64\right) \left(- 2 x - 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}} - \frac{8}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -11$$
$$x_{2} = -5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -11$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -11\right] \cup \left[-5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-11, -5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 8 x - 64\right) \left(- 2 x - 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}} - \frac{8}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -11$$
$$x_{2} = -5$$
Signos de extremos en los puntos:
(-11, 1/2)
(-5, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -11$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -11\right] \cup \left[-5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-11, -5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -7^-}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -7^+}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -7$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -7^-}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -7^+}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -7$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{16 \left(2 x - \left(x + 8\right) \left(\left(x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{x + 3}{x + 7} - 1 + \frac{x + 3}{x - 1}\right) + 6\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-8 - 3 \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-8*x - 64)/(((x + 7)*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} \left(- 8 x - 64\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} \left(- 8 x - 64\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} \left(- 8 x - 64\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} \left(- 8 x - 64\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = \frac{8 x - 64}{\left(7 - x\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = - \frac{8 x - 64}{\left(7 - x\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = \frac{8 x - 64}{\left(7 - x\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{- 8 x - 64}{\left(x - 1\right) \left(x + 7\right)} = - \frac{8 x - 64}{\left(7 - x\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar