Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- ln(x^ dos - uno)^ dos
- ln(x al cuadrado menos 1) al cuadrado
- ln(x en el grado dos menos uno) en el grado dos
- ln(x2-1)2
- lnx2-12
- ln(x²-1)²
- ln(x en el grado 2-1) en el grado 2
- lnx^2-1^2
-
Expresiones semejantes
- ln(x^2+1)^2
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(x)/x
- lnx\x
- ln(2-x^2)
- lnx/x^2
- lnx/(x-1)
Gráfico de la función y = ln(x^2-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2/ 2 \ f(x) = log \x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}$$
f = log(x^2 - 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.41421361158095$$
$$x_{2} = 1.41421349963273$$
$$x_{3} = -1.41421363141918$$
$$x_{4} = 1.41421382953958$$
$$x_{5} = -1.41421372560679$$
$$x_{6} = -1.41421366040257$$
$$x_{7} = 1.41421358400708$$
$$x_{8} = 1.4142136875519$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.41421361158095$$
$$x_{2} = 1.41421349963273$$
$$x_{3} = -1.41421363141918$$
$$x_{4} = 1.41421382953958$$
$$x_{5} = -1.41421372560679$$
$$x_{6} = -1.41421366040257$$
$$x_{7} = 1.41421358400708$$
$$x_{8} = 1.4142136875519$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (0, -pi )
___ (-\/ 2, 0)
___ (\/ 2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- \frac{2 x^{2} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.58815443608532$$
$$x_{2} = 2.58815443608532$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2.58815443608532, 2.58815443608532\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.58815443608532\right] \cup \left[2.58815443608532, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- \frac{2 x^{2} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.58815443608532$$
$$x_{2} = 2.58815443608532$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2.58815443608532, 2.58815443608532\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.58815443608532\right] \cup \left[2.58815443608532, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}$$
- Sí
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}$$
- Sí
$$\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico