Sr Examen

Otras calculadoras

ln(x^2-1)^2
Trazado el gráfico de la función/ ln(x^2-1)^2

Gráfico de la función y = ln(x^2-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2/ 2    \
f(x) = log \x  - 1/
f(x)=log⁡(x2−1)2f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} 
f = log(x^2 - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x2−1)2=0\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1.41421361158095x_{1} = -1.41421361158095
x2=1.41421349963273x_{2} = 1.41421349963273
x3=−1.41421363141918x_{3} = -1.41421363141918
x4=1.41421382953958x_{4} = 1.41421382953958
x5=−1.41421372560679x_{5} = -1.41421372560679
x6=−1.41421366040257x_{6} = -1.41421366040257
x7=1.41421358400708x_{7} = 1.41421358400708
x8=1.4142136875519x_{8} = 1.4142136875519
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^2 - 1)^2.
log⁡(−1+02)2\log{\left(-1 + 0^{2} \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=−π2f{\left(0 \right)} = - \pi^{2}
Punto:
(0, -pi^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4xlog⁡(x2−1)x2−1=0\frac{4 x \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
       2 
(0, -pi )

    ___    
(-\/ 2, 0)

   ___    
(\/ 2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[\sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−2x2log⁡(x2−1)x2−1+2x2x2−1+log⁡(x2−1))x2−1=0\frac{4 \left(- \frac{2 x^{2} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right)}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.58815443608532x_{1} = -2.58815443608532
x2=2.58815443608532x_{2} = 2.58815443608532

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2.58815443608532,2.58815443608532]\left[-2.58815443608532, 2.58815443608532\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2.58815443608532]∪[2.58815443608532,∞)\left(-\infty, -2.58815443608532\right] \cup \left[2.58815443608532, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x2−1)2=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(x2−1)2=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x2−1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x2−1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x2−1)2=log⁡(x2−1)2\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}
- Sí
log⁡(x2−1)2=−log⁡(x2−1)2\log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2} = - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(x^2-1)^2
    © Sr Examen – Калькулятор