Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sqrt(x*(1-x)))

Gráfico de la función y = 1/(sqrt(x*(1-x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             1      
f(x) = -------------
         ___________
       \/ x*(1 - x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}}$$ 
f = 1/(sqrt(x*(1 - x)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(x*(1 - x))).
$$\frac{1}{\sqrt{0 \left(1 - 0\right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{1}{2} - x}{x \sqrt{x \left(1 - x\right)} \left(1 - x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-1 + \frac{2 x - 1}{2 \left(x - 1\right)} + \frac{2 x - 1}{2 x} + \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{4 x \left(x - 1\right)}}{x \sqrt{- x \left(x - 1\right)} \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(x*(1 - x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x \left(1 - x\right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x \left(1 - x\right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = \frac{1}{\sqrt{- x \left(x + 1\right)}}$$
- No
$$\frac{1}{\sqrt{x \left(1 - x\right)}} = - \frac{1}{\sqrt{- x \left(x + 1\right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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