Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -x^3/(x-1)^2+3*x^2/(x-1)

Gráfico de la función y = -x^3/(x-1)^2+3*x^2/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3          2
         -x        3*x 
f(x) = -------- + -----
              2   x - 1
       (x - 1)
f(x)=3x2x−1+(−1)x3(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} 
f = (3*x^2)/(x - 1) + (-x^3)/(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x2x−1+(−1)x3(x−1)2=0\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=1.5x_{1} = 1.5
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^3)/(x - 1)^2 + (3*x^2)/(x - 1).
(−1)03(−1)2+3⋅02−1\frac{\left(-1\right) 0^{3}}{\left(-1\right)^{2}} + \frac{3 \cdot 0^{2}}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3(2−2x)(x−1)4−6x2(x−1)2+6xx−1=0- \frac{x^{3} \left(2 - 2 x\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{6 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{6 x}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(−x3(x−1)3+3x2(x−1)2−3xx−1+1)x−1=0\frac{6 \left(- \frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 1} + 1\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x2x−1+(−1)x3(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x2x−1+(−1)x3(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^3)/(x - 1)^2 + (3*x^2)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x2x−1+(−1)x3(x−1)2x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞(3x2x−1+(−1)x3(x−1)2x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x2x−1+(−1)x3(x−1)2=x3(−x−1)2+3x2−x−1\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{- x - 1}
- No
3x2x−1+(−1)x3(x−1)2=−x3(−x−1)2−3x2−x−1\frac{3 x^{2}}{x - 1} + \frac{\left(-1\right) x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2}}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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