Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=2cos(x/2)+1

Gráfico de la función y = y=2cos(x/2)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x\    
f(x) = 2*cos|-| + 1
            \2/
f(x)=2cos⁡(x2)+1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 
f = 2*cos(x/2) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x2)+1=02 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4π3x_{1} = \frac{4 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−192.684349420174x_{1} = -192.684349420174
x2=20.943951023932x_{2} = 20.943951023932
x3=−83.7758040957278x_{3} = -83.7758040957278
x4=−92.1533845053006x_{4} = -92.1533845053006
x5=79.5870138909414x_{5} = 79.5870138909414
x6=−79.5870138909414x_{6} = -79.5870138909414
x7=−54.4542726622231x_{7} = -54.4542726622231
x8=16.7551608191456x_{8} = 16.7551608191456
x9=−58.6430628670095x_{9} = -58.6430628670095
x10=−29.3215314335047x_{10} = -29.3215314335047
x11=92.1533845053006x_{11} = 92.1533845053006
x12=4.18879020478639x_{12} = 4.18879020478639
x13=29.3215314335047x_{13} = 29.3215314335047
x14=33.5103216382911x_{14} = 33.5103216382911
x15=−96.342174710087x_{15} = -96.342174710087
x16=−67.0206432765823x_{16} = -67.0206432765823
x17=54.4542726622231x_{17} = 54.4542726622231
x18=67.0206432765823x_{18} = 67.0206432765823
x19=58.6430628670095x_{19} = 58.6430628670095
x20=−16.7551608191456x_{20} = -16.7551608191456
x21=46.0766922526503x_{21} = 46.0766922526503
x22=−33.5103216382911x_{22} = -33.5103216382911
x23=−4.18879020478639x_{23} = -4.18879020478639
x24=−117.286125734019x_{24} = -117.286125734019
x25=−46.0766922526503x_{25} = -46.0766922526503
x26=8.37758040957278x_{26} = 8.37758040957278
x27=83.7758040957278x_{27} = 83.7758040957278
x28=96.342174710087x_{28} = 96.342174710087
x29=−20.943951023932x_{29} = -20.943951023932
x30=71.2094334813686x_{30} = 71.2094334813686
x31=41.8879020478639x_{31} = 41.8879020478639
x32=−8.37758040957278x_{32} = -8.37758040957278
x33=−71.2094334813686x_{33} = -71.2094334813686
x34=−41.8879020478639x_{34} = -41.8879020478639
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x/2) + 1.
1+2cos⁡(02)1 + 2 \cos{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2)=0- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)

(2*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x2)2=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x2)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x2)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x/2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x2)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x2)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x2)+1=2cos⁡(x2)+12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1
- No
2cos⁡(x2)+1=−2cos⁡(x2)−12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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