Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 6cos(x)-8sin(x)+9

Gráfico de la función y = 6cos(x)-8sin(x)+9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 6*cos(x) - 8*sin(x) + 9
f(x)=(−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9f{\left(x \right)} = \left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9 
f = -8*sin(x) + 6*cos(x) + 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9=0\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2atan⁡(83−193)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{8}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(193+83)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{8}{3} \right)}
Solución numérica
x1=52.0287530812286x_{1} = 52.0287530812286
x2=−66.449714131591x_{2} = -66.449714131591
x3=8.0464559309715x_{3} = 8.0464559309715
x4=−42.2190265264652x_{4} = -42.2190265264652
x5=64.5951236955878x_{5} = 64.5951236955878
x6=65.4971773191803x_{6} = 65.4971773191803
x7=−41.3169729028727x_{7} = -41.3169729028727
x8=−79.0160847459502x_{8} = -79.0160847459502
x9=−3.61786105979514x_{9} = -3.61786105979514
x10=45.745567774049x_{10} = 45.745567774049
x11=−53.8833435172318x_{11} = -53.8833435172318
x12=−61.0685824480039x_{12} = -61.0685824480039
x13=−22.4674169813339x_{13} = -22.4674169813339
x14=−86.2013236767223x_{14} = -86.2013236767223
x15=−98.7676942910815x_{15} = -98.7676942910815
x16=89.7278649243061x_{16} = 89.7278649243061
x17=−72.7328994387706x_{17} = -72.7328994387706
x18=83.4446796171265x_{18} = 83.4446796171265
x19=20.6128265453307x_{19} = 20.6128265453307
x20=46.6476213976416x_{20} = 46.6476213976416
x21=−92.4845089839019x_{21} = -92.4845089839019
x22=−35.0337875956931x_{22} = -35.0337875956931
x23=−67.3517677551835x_{23} = -67.3517677551835
x24=−79.9181383695427x_{24} = -79.9181383695427
x25=33.1791971596898x_{25} = 33.1791971596898
x26=−91.5824553603094x_{26} = -91.5824553603094
x27=103.196289162258x_{27} = 103.196289162258
x28=−47.6001582100522x_{28} = -47.6001582100522
x29=27.7980654761028x_{29} = 27.7980654761028
x30=−23.3694706049264x_{30} = -23.3694706049264
x31=77.161494309947x_{31} = 77.161494309947
x32=26.8960118525103x_{32} = 26.8960118525103
x33=−17.0862852977468x_{33} = -17.0862852977468
x34=−29.652655912106x_{34} = -29.652655912106
x35=−262.130512277751x_{35} = -262.130512277751
x36=58.3119383884082x_{36} = 58.3119383884082
x37=−54.7853971408244x_{37} = -54.7853971408244
x38=14.3296412381511x_{38} = 14.3296412381511
x39=−9.90104636697473x_{39} = -9.90104636697473
x40=71.7803626263599x_{40} = 71.7803626263599
x41=52.9308067048211x_{41} = 52.9308067048211
x42=84.3467332407191x_{42} = 84.3467332407191
x43=34.0812507832824x_{43} = 34.0812507832824
x44=70.8783090027674x_{44} = 70.8783090027674
x45=40.364436090462x_{45} = 40.364436090462
x46=−97.8656406674889x_{46} = -97.8656406674889
x47=96.0110502314857x_{47} = 96.0110502314857
x48=21.5148801689232x_{48} = 21.5148801689232
x49=−60.1665288244114x_{49} = -60.1665288244114
x50=−28.7506022885135x_{50} = -28.7506022885135
x51=1.76327062379192x_{51} = 1.76327062379192
x52=−16.1842316741543x_{52} = -16.1842316741543
x53=59.2139920120007x_{53} = 59.2139920120007
x54=8.94850955456403x_{54} = 8.94850955456403
x55=−73.6349530623631x_{55} = -73.6349530623631
x56=273414.571912543x_{56} = 273414.571912543
x57=39.4623824668694x_{57} = 39.4623824668694
x58=15.2316948617436x_{58} = 15.2316948617436
x59=78.0635479335395x_{59} = 78.0635479335395
x60=−10.8030999905673x_{60} = -10.8030999905673
x61=−4.51991468338767x_{61} = -4.51991468338767
x62=2.66532424738444x_{62} = 2.66532424738444
x63=−35.9358412192856x_{63} = -35.9358412192856
x64=96.9131038550782x_{64} = 96.9131038550782
x65=−48.5022118336448x_{65} = -48.5022118336448
x66=−85.2992700531298x_{66} = -85.2992700531298
x67=90.6299185478987x_{67} = 90.6299185478987
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 6*cos(x) - 8*sin(x) + 9.
(−8sin⁡(0)+6cos⁡(0))+9\left(- 8 \sin{\left(0 \right)} + 6 \cos{\left(0 \right)}\right) + 9
Resultado:
f(0)=15f{\left(0 \right)} = 15
Punto:
(0, 15)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(x)−8cos⁡(x)=0- 6 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(43)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(-atan(4/3), 19)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(43)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(43)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(43),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4sin⁡(x)−3cos⁡(x))=02 \left(4 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(34)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(34),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,atan⁡(34)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9)=⟨−5,23⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9\right) = \left\langle -5, 23\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,23⟩y = \left\langle -5, 23\right\rangle
lim⁡x→∞((−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9)=⟨−5,23⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9\right) = \left\langle -5, 23\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,23⟩y = \left\langle -5, 23\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 6*cos(x) - 8*sin(x) + 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9=8sin⁡(x)+6cos⁡(x)+9\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9 = 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} + 9
- No
(−8sin⁡(x)+6cos⁡(x))+9=−8sin⁡(x)−6cos⁡(x)−9\left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 9 = - 8 \sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(x \right)} - 9
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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