Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*exp(-x)
-
(1/2)^x
-
-x^2+3*x
-
(x-3)^2
-
Expresiones idénticas
- uno / cuatro x^4- tres / dos x^ dos +2
- 1 dividir por 4x en el grado 4 menos 3 dividir por 2x al cuadrado más 2
- uno dividir por cuatro x en el grado 4 menos tres dividir por dos x en el grado dos más 2
- 1/4x4-3/2x2+2
- 1/4x⁴-3/2x²+2
- 1/4x en el grado 4-3/2x en el grado 2+2
- 1 dividir por 4x^4-3 dividir por 2x^2+2
-
Expresiones semejantes
- 1/4x^4-3/2x^2-2
- 1/4x^4+3/2x^2+2
Gráfico de la función y = 1/4x^4-3/2x^2+2
Solución
Ha introducido
[src]
4 2
x 3*x
f(x) = -- - ---- + 2
4 2
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2$$
f = x^4/4 - 3*x^2/2 + 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
$$x_{4} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
$$x_{4} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
$$x_{4} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
$$x_{4} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - 3 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - 3 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
___ (-\/ 3, -1/4)
___ (\/ 3, -1/4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/4 - 3*x^2/2 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = \left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2$$
- Sí
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = \left(- \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2}\right) - 2$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = \left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2$$
- Sí
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) + 2 = \left(- \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2}\right) - 2$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico