Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
- Integral de d{x}:
- (2*x+1)/(x^2-4*x+3)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x+ uno)/(x^ dos - cuatro *x+ tres)
- (2 multiplicar por x más 1) dividir por (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x más 3)
- (dos multiplicar por x más uno) dividir por (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x más tres)
- (2*x+1)/(x2-4*x+3)
- 2*x+1/x2-4*x+3
- (2*x+1)/(x²-4*x+3)
- (2*x+1)/(x en el grado 2-4*x+3)
- (2x+1)/(x^2-4x+3)
- (2x+1)/(x2-4x+3)
- 2x+1/x2-4x+3
- 2x+1/x^2-4x+3
- (2*x+1) dividir por (x^2-4*x+3)
-
Expresiones semejantes
- (2*x+1)/(x^2+4*x+3)
- (2*x+1)/(x^2-4*x-3)
- (2*x-1)/(x^2-4*x+3)
Gráfico de la función y = (2*x+1)/(x^2-4*x+3)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 1
f(x) = ------------
2
x - 4*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}$$
f = (2*x + 1)/(x^2 - 4*x + 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ ____
1 \/ 21 \/ 21
(- - + ------, ------------------------------)
2 2 2
/ ____\
| 1 \/ 21 | ____
5 + |- - + ------| - 2*\/ 21
\ 2 2 / ____ ____
1 \/ 21 -\/ 21
(- - - ------, ------------------------------)
2 2 2
/ ____\
| 1 \/ 21 | ____
5 + |- - - ------| + 2*\/ 21
\ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/(x^2 - 4*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar