Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2*x+1)/(x^2-4*x+3)

Gráfico de la función y = (2*x+1)/(x^2-4*x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2*x + 1   
f(x) = ------------
        2          
       x  - 4*x + 3
f(x)=2x+1(x2−4x)+3f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} 
f = (2*x + 1)/(x^2 - 4*x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x+1(x2−4x)+3=0\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1)/(x^2 - 4*x + 3).
0⋅2+1(02−0)+3\frac{0 \cdot 2 + 1}{\left(0^{2} - 0\right) + 3}
Resultado:
f(0)=13f{\left(0 \right)} = \frac{1}{3}
Punto:
(0, 1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−2x)(2x+1)((x2−4x)+3)2+2(x2−4x)+3=0\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12+212x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}
x2=−212−12x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         ____                ____             
   1   \/ 21               \/ 21              
(- - + ------, ------------------------------)
   2     2                       2            
                   /        ____\             
                   |  1   \/ 21 |        ____ 
               5 + |- - + ------|  - 2*\/ 21  
                   \  2     2   /             

         ____                ____             
   1   \/ 21              -\/ 21              
(- - - ------, ------------------------------)
   2     2                       2            
                   /        ____\             
                   |  1   \/ 21 |        ____ 
               5 + |- - - ------|  + 2*\/ 21  
                   \  2     2   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−212−12x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−12+212x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}
Decrece en los intervalos
[−212−12,−12+212]\left[- \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−212−12]∪[−12+212,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x+(2x+1)(4(x−2)2x2−4x+3−1)+8)(x2−4x+3)2=0\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−14732−6332−12x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→1−(2(−4x+(2x+1)(4(x−2)2x2−4x+3−1)+8)(x2−4x+3)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(−4x+(2x+1)(4(x−2)2x2−4x+3−1)+8)(x2−4x+3)2)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→3−(2(−4x+(2x+1)(4(x−2)2x2−4x+3−1)+8)(x2−4x+3)2)=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(2(−4x+(2x+1)(4(x−2)2x2−4x+3−1)+8)(x2−4x+3)2)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) + 8\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=3x_{2} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−14732−6332−12,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−14732−6332−12]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{147}}{2} - \frac{\sqrt[3]{63}}{2} - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x+1(x2−4x)+3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2x+1(x2−4x)+3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/(x^2 - 4*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x+1x((x2−4x)+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x+1x((x2−4x)+3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x+1(x2−4x)+3=1−2xx2+4x+3\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}
- No
2x+1(x2−4x)+3=−1−2xx2+4x+3\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 4 x + 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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