Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)(x- dos)(x+ tres)/(x+ uno)^ dos
- (x menos 1)(x menos 2)(x más 3) dividir por (x más 1) al cuadrado
- (x menos uno)(x menos dos)(x más tres) dividir por (x más uno) en el grado dos
- (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1)2
- x-1x-2x+3/x+12
- (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1)²
- (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1) en el grado 2
- x-1x-2x+3/x+1^2
- (x-1)(x-2)(x+3) dividir por (x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x+2)(x+3)/(x+1)^2
- (x+1)(x-2)(x+3)/(x+1)^2
- (x-1)(x-2)(x-3)/(x+1)^2
- (x-1)(x-2)(x+3)/(x-1)^2
Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 1)*(x - 2)*(x + 3)
f(x) = -----------------------
2
(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
f = (((x - 2)*(x - 1))*(x + 3))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ________________ \ / ________________ \ / ________________ \
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
| / 4*\/ 741 4 | | / 4*\/ 741 4 | | / 4*\/ 741 4 |
|-3 + 3 / 12 + --------- - -----------------------|*|-2 + 3 / 12 + --------- - -----------------------|*|2 + 3 / 12 + --------- - -----------------------|
| \/ 9 ________________| | \/ 9 ________________| | \/ 9 ________________|
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
________________ | / 4*\/ 741 | | / 4*\/ 741 | | / 4*\/ 741 |
/ _____ | 3*3 / 12 + --------- | | 3*3 / 12 + --------- | | 3*3 / 12 + --------- |
/ 4*\/ 741 4 \ \/ 9 / \ \/ 9 / \ \/ 9 /
(-1 + 3 / 12 + --------- - -----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\/ 9 ________________ 2
/ _____ / ________________ \
/ 4*\/ 741 | / _____ |
3*3 / 12 + --------- | / 4*\/ 741 4 |
\/ 9 |3 / 12 + --------- - -----------------------|
|\/ 9 ________________|
| / _____ |
| / 4*\/ 741 |
| 3*3 / 12 + --------- |
\ \/ 9 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 8\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[8, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 8\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[8, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*(x + 3))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar