Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1)^2

Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)(x+3)/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x - 1)*(x - 2)*(x + 3)
f(x) = -----------------------
                      2       
               (x + 1)
f(x)=(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = (((x - 2)*(x - 1))*(x + 3))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2=0\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−3x_{2} = -3
x3=2x_{3} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 1)*(x - 2))*(x + 3))/(x + 1)^2.
3(−−2)12\frac{3 \left(- -2\right)}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−2)(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)4+(x−2)(x−1)+(x+3)(2x−3)(x+1)2=0\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1−4312+474193+12+474193x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                       /          ________________                          \ /          ________________                          \ /         ________________                          \ 
                                                       |         /          _____                           | |         /          _____                           | |        /          _____                           | 
                                                       |        /       4*\/ 741                4           | |        /       4*\/ 741                4           | |       /       4*\/ 741                4           | 
                                                       |-3 + 3 /   12 + ---------  - -----------------------|*|-2 + 3 /   12 + ---------  - -----------------------|*|2 + 3 /   12 + ---------  - -----------------------| 
                                                       |     \/             9               ________________| |     \/             9               ________________| |    \/             9               ________________| 
                                                       |                                   /          _____ | |                                   /          _____ | |                                  /          _____ | 
           ________________                            |                                  /       4*\/ 741  | |                                  /       4*\/ 741  | |                                 /       4*\/ 741  | 
          /          _____                             |                             3*3 /   12 + --------- | |                             3*3 /   12 + --------- | |                            3*3 /   12 + --------- | 
         /       4*\/ 741                4             \                               \/             9     / \                               \/             9     / \                              \/             9     / 
(-1 + 3 /   12 + ---------  - -----------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
      \/             9               ________________                                                                                                            2                                                         
                                    /          _____                                                            /     ________________                          \                                                          
                                   /       4*\/ 741                                                             |    /          _____                           |                                                          
                              3*3 /   12 + ---------                                                            |   /       4*\/ 741                4           |                                                          
                                \/             9                                                                |3 /   12 + ---------  - -----------------------|                                                          
                                                                                                                |\/             9               ________________|                                                          
                                                                                                                |                              /          _____ |                                                          
                                                                                                                |                             /       4*\/ 741  |                                                          
                                                                                                                |                        3*3 /   12 + --------- |                                                          
                                                                                                                \                          \/             9     /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1−4312+474193+12+474193x_{1} = -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1−4312+474193+12+474193,∞)\left[-1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1−4312+474193+12+474193]\left(-\infty, -1 - \frac{4}{3 \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}} + \sqrt[3]{12 + \frac{4 \sqrt{741}}{9}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+3(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2−2((x−2)(x−1)+(x+3)(2x−3))x+1)(x+1)2=0\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8x_{1} = 8
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(3x+3(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2−2((x−2)(x−1)+(x+3)(2x−3))x+1)(x+1)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(3x+3(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2−2((x−2)(x−1)+(x+3)(2x−3))x+1)(x+1)2)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 3\right)\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,8]\left(-\infty, 8\right]
Convexa en los intervalos
[8,∞)\left[8, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*(x + 3))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x−1)(x+3)x(x+1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−2)(x−1)(x+3)x(x+1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2=(3−x)(−x−2)(−x−1)(1−x)2\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
(x−2)(x−1)(x+3)(x+1)2=−(3−x)(−x−2)(−x−1)(1−x)2\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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