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y=x^3-10x^2+9x-3

Gráfico de la función y = y=x^3-10x^2+9x-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        3       2          
f(x) = x  - 10*x  + 9*x - 3
$$f{\left(x \right)} = \left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3$$
f = 9*x + x^3 - 10*x^2 - 3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{73}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{733}}{6} + \frac{1271}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{733}}{6} + \frac{1271}{54}} + \frac{10}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 9.04126366676999$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 10*x^2 + 9*x - 3.
$$-3 + \left(\left(0^{3} - 10 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 9\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -3$$
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 20 x + 9 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt{73}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{73}}{3} + \frac{10}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                3                   2            
        ____       /       ____\       /       ____\             
 10   \/ 73        |10   \/ 73 |       |10   \/ 73 |        ____ 
(-- - ------, 27 + |-- - ------|  - 10*|-- - ------|  - 3*\/ 73 )
 3      3          \3      3   /       \3      3   /             

                                3                   2            
        ____       /       ____\       /       ____\             
 10   \/ 73        |10   \/ 73 |       |10   \/ 73 |        ____ 
(-- + ------, 27 + |-- + ------|  - 10*|-- + ------|  + 3*\/ 73 )
 3      3          \3      3   /       \3      3   /             


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{73}}{3} + \frac{10}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt{73}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3} - \frac{\sqrt{73}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{73}}{3} + \frac{10}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3} - \frac{\sqrt{73}}{3}, \frac{\sqrt{73}}{3} + \frac{10}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 10\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 10*x^2 + 9*x - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3 = - x^{3} - 10 x^{2} - 9 x - 3$$
- No
$$\left(9 x + \left(x^{3} - 10 x^{2}\right)\right) - 3 = x^{3} + 10 x^{2} + 9 x + 3$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3-10x^2+9x-3