Sr Examen

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1-2sin2x
Trazado el gráfico de la función/ 1-2sin2x

Gráfico de la función y = 1-2sin2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 - 2*sin(2*x)
f(x)=1−2sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = 1 - 2 \sin{\left(2 x \right)} 
f = 1 - 2*sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−2sin⁡(2x)=01 - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
x2=5π12x_{2} = \frac{5 \pi}{12}
Solución numérica
x1=34.8193185772869x_{1} = 34.8193185772869
x2=−1.83259571459405x_{2} = -1.83259571459405
x3=26.4417381677141x_{3} = 26.4417381677141
x4=−93.9859802198946x_{4} = -93.9859802198946
x5=−36.3901149040818x_{5} = -36.3901149040818
x6=31.6777259236971x_{6} = 31.6777259236971
x7=9.68657734856853x_{7} = 9.68657734856853
x8=−67.8060414399797x_{8} = -67.8060414399797
x9=45.2912940892529x_{9} = 45.2912940892529
x10=−97.1275728734844x_{10} = -97.1275728734844
x11=−40.5789051088682x_{11} = -40.5789051088682
x12=−28.012534494509x_{12} = -28.012534494509
x13=−23.8237442897226x_{13} = -23.8237442897226
x14=−6.02138591938044x_{14} = -6.02138591938044
x15=−14.3989663289532x_{15} = -14.3989663289532
x16=12.8281700021583x_{16} = 12.8281700021583
x17=−52.0980781720307x_{17} = -52.0980781720307
x18=35.8665161284835x_{18} = 35.8665161284835
x19=79.8488132787406x_{19} = 79.8488132787406
x20=81.9432083811338x_{20} = 81.9432083811338
x21=7.59218224617533x_{21} = 7.59218224617533
x22=−96.0803753222878x_{22} = -96.0803753222878
x23=−56.2868683768171x_{23} = -56.2868683768171
x24=−83.5140047079287x_{24} = -83.5140047079287
x25=−100.269165527074x_{25} = -100.269165527074
x26=−89.7971900151083x_{26} = -89.7971900151083
x27=94.5095789954929x_{27} = 94.5095789954929
x28=−74.0892267471593x_{28} = -74.0892267471593
x29=−8.11578102177363x_{29} = -8.11578102177363
x30=20.1585528605345x_{30} = 20.1585528605345
x31=−87.7027949127151x_{31} = -87.7027949127151
x32=−78.2780169519457x_{32} = -78.2780169519457
x33=57.857664703612x_{33} = 57.857664703612
x34=48.4328867428426x_{34} = 48.4328867428426
x35=−39.5317075576716x_{35} = -39.5317075576716
x36=56.8104671524154x_{36} = 56.8104671524154
x37=−81.4196096055355x_{37} = -81.4196096055355
x38=59.9520598060052x_{38} = 59.9520598060052
x39=53.6688744988256x_{39} = 53.6688744988256
x40=51.5744793964324x_{40} = 51.5744793964324
x41=−17.540558982543x_{41} = -17.540558982543
x42=44.2440965380563x_{42} = 44.2440965380563
x43=−55.2396708256205x_{43} = -55.2396708256205
x44=42.1497014356631x_{44} = 42.1497014356631
x45=15.9697626557481x_{45} = 15.9697626557481
x46=−75.1364242983559x_{46} = -75.1364242983559
x47=−30.1069295969022x_{47} = -30.1069295969022
x48=−21.7293491873294x_{48} = -21.7293491873294
x49=−694.030177055545x_{49} = -694.030177055545
x50=−31.1541271480988x_{50} = -31.1541271480988
x51=92.4151838930998x_{51} = 92.4151838930998
x52=−80.3724120543389x_{52} = -80.3724120543389
x53=−9.16297857297023x_{53} = -9.16297857297023
x54=22.2529479629277x_{54} = 22.2529479629277
x55=66.2352451131848x_{55} = 66.2352451131848
x56=−64.6644487863899x_{56} = -64.6644487863899
x57=100.792764302673x_{57} = 100.792764302673
x58=29.5833308213039x_{58} = 29.5833308213039
x59=−65.7116463375865x_{59} = -65.7116463375865
x60=95.5567765466895x_{60} = 95.5567765466895
x61=13.8753675533549x_{61} = 13.8753675533549
x62=−53.1452757232273x_{62} = -53.1452757232273
x63=−34.2957198016886x_{63} = -34.2957198016886
x64=4.45058959258554x_{64} = 4.45058959258554
x65=72.5184304203644x_{65} = 72.5184304203644
x66=−42.6733002112614x_{66} = -42.6733002112614
x67=50.5272818452358x_{67} = 50.5272818452358
x68=64.1408500107916x_{68} = 64.1408500107916
x69=−71.9948316447661x_{69} = -71.9948316447661
x70=73.565627971561x_{70} = 73.565627971561
x71=6.54498469497874x_{71} = 6.54498469497874
x72=−61.5228561328001x_{72} = -61.5228561328001
x73=−37.4373124552784x_{73} = -37.4373124552784
x74=−86.6555973615185x_{74} = -86.6555973615185
x75=86.1319985859202x_{75} = 86.1319985859202
x76=−12.30457122656x_{76} = -12.30457122656
x77=70.4240353179712x_{77} = 70.4240353179712
x78=−15.4461638801498x_{78} = -15.4461638801498
x79=−58.3812634792103x_{79} = -58.3812634792103
x80=−45.8148928648512x_{80} = -45.8148928648512
x81=75.6600230739542x_{81} = 75.6600230739542
x82=−43.720497762458x_{82} = -43.720497762458
x83=88.2263936883134x_{83} = 88.2263936883134
x84=−59.4284610304069x_{84} = -59.4284610304069
x85=78.801615727544x_{85} = 78.801615727544
x86=−50.0036830696375x_{86} = -50.0036830696375
x87=0.261799387799149x_{87} = 0.261799387799149
x88=37.9609112308767x_{88} = 37.9609112308767
x89=28.5361332701073x_{89} = 28.5361332701073
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - 2*sin(2*x).
1−2sin⁡(0⋅2)1 - 2 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4cos⁡(2x)=0- 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     
(--, -1)
 4      

 3*pi    
(----, 3)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−2sin⁡(2x))=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(1 - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(1−2sin⁡(2x))=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(1 - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 2*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−2sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - 2 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−2sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 2 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−2sin⁡(2x)=2sin⁡(2x)+11 - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(2 x \right)} + 1
- No
1−2sin⁡(2x)=−2sin⁡(2x)−11 - 2 \sin{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-2sin2x
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