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(-4x^2-9x-2)/(x-2)
Trazado el gráfico de la función/ (-4x^2-9x-2)/(x-2)

Gráfico de la función y = (-4x^2-9x-2)/(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2          
       - 4*x  - 9*x - 2
f(x) = ----------------
            x - 2
f(x)=(−4x2−9x)−2x−2f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2} 
f = (-4*x^2 - 9*x - 2)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4x2−9x)−2x−2=0\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−14x_{2} = - \frac{1}{4}
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−0.25x_{2} = -0.25
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-4*x^2 - 9*x - 2)/(x - 2).
−2+(−4⋅02−0)−2\frac{-2 + \left(- 4 \cdot 0^{2} - 0\right)}{-2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8x−9x−2−(−4x2−9x)−2(x−2)2=0\frac{- 8 x - 9}{x - 2} - \frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1)

(5, -49)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=5x_{1} = 5
Decrece en los intervalos
[−1,5]\left[-1, 5\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[5,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4+8x+9x−2−4x2+9x+2(x−2)2)x−2=0\frac{2 \left(-4 + \frac{8 x + 9}{x - 2} - \frac{4 x^{2} + 9 x + 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4x2−9x)−2x−2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x2−9x)−2x−2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-4*x^2 - 9*x - 2)/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4x2−9x)−2x(x−2))=−4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x \left(x - 2\right)}\right) = -4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−4xy = - 4 x
lim⁡x→∞((−4x2−9x)−2x(x−2))=−4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x \left(x - 2\right)}\right) = -4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−4xy = - 4 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4x2−9x)−2x−2=−4x2+9x−2−x−2\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2} = \frac{- 4 x^{2} + 9 x - 2}{- x - 2}
- No
(−4x2−9x)−2x−2=−−4x2+9x−2−x−2\frac{\left(- 4 x^{2} - 9 x\right) - 2}{x - 2} = - \frac{- 4 x^{2} + 9 x - 2}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-4x^2-9x-2)/(x-2)
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